抛物线性质归纳、证明和应用VIP免费

抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线．抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例．一、焦半径、焦点弦性质如图，AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，AD、BC是准线的垂线，垂足分别为D、C，M是CD的中点，N是AB的中点．设点A(x1，y1)、点B(x2，y2)，直线AB交y轴于点K(0，y3)，则：⑴①y1y2＝－p2；②x1x2＝；③＋＝；④|AB|＝x1＋x2＋p＝（为AB的倾斜角）；⑤S△OAB＝，S梯形ABCD＝..⑵＋＝；⑶∠AMB＝∠DFC＝Rt∠；⑷AM、BM是抛物线的切线；⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线；⑹AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点；⑺A、O、C三点共线，B、O、D三点共线；⑻若|AF|：|BF|＝m：n，点A在第一象限，为直线AB的倾斜角.则cos＝；⑼以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切.⑽MN交抛物线于点Q，则，Q是MN的中点.K(0，y3)CMDB(x2，y2)ROF(，0)A(x1，y1)xyHGx＝－NQ★⑴①y1y2＝－p2；②x1x2＝；③＋＝④|AB|＝x1＋x2＋p＝（为AB的倾斜角）；⑤S△OAB＝，S梯形ABCD＝.【证明】设过焦点F(，0)的AB的直线方程为x＝my＋，代入抛物线方程y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0，因此①y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm.另由⑶得在Rt△CFD中，FR⊥CD，有|RF|2＝|DR|·|RC|，而|DR|＝|y1|，|RC|＝|y2|，|RF|＝p，且y1y2＜0∴y1y2＝－p2.②又点A、B在抛物线上，有x1＝，x2＝，因此x1x2＝·＝＝.③＋＝＝＝－，在直线AB方程x＝my＋中令x＝0，得y3＝－，代入上式得＋＝④【证法一】根据抛物线的定义，|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p又|AB|＝＝|y2－y1|＝＝＝2p(1＋m2)当m≠0时，m＝＝＝，有1＋m2＝1＋＝（k为直线AB的斜率）当m＝0时，＝90，1＋m2＝1也满足1＋m2＝∴|AB|＝2p(1＋m2)＝.【证法二】如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么|RF|＝|AD|－|FA1|＝|AF|－|AF|cos，∴|AF|＝＝同理，|BF|＝＝∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝.【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为＝，则|AF|＝1＝，|BF|＝2＝＝.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝.⑤S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝|OF||y1|＋|OF||y1|＝··(|y1|＋|y1|) y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，|y1|＋|y1|＝|y1－y2|∴S△OAB＝|y1－y2|＝＝＝＝.又 |CD|＝|AB|sin＝，|AD|＋|BC|＝|AB|＝.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOA1B1F图2CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF(，0)图1∴S梯形ABCD＝(|AD|＋|BC|)·|CD|＝××＝.【例1】（2001年新课程高考文）设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA·OB＝（）A.B.－C.3D.－3【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－，故选B.【例2】（2009年福建理）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝.【解】由性质⑴得|AB|＝＝＝8，∴p＝＝4.★⑵＋＝【证法一】由⑴x1x2＝，且|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋.∴＋＝＋＝＝＝＝＝【证法二】由|AF|＝1＝，|BF|＝2＝＝.∴＋＝＋＝＋＝【例3】（2000全国）过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则＋等于（）A.2aB.C.4aD.【解】由y＝ax2得x2＝y，（抛物线焦点到准线的距离为），由此得＋＝4a，故选C.★⑶∠AMB＝∠DFC＝Rt∠，先证明：∠AMB＝Rt∠【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则△ADM≌△ECM，∴|AM|＝|EM|，|EC|＝|AD|∴|BE|＝|BC|＋|CE|＝|BC|＋|AD|＝|BF|＋|AF|＝|AB|∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠【证法二】取AB的中点N，连结MN，则|MN|＝(|AD|＋|BC|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，∴|MN|＝|AN|＝|BN|∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，...