平面向量三点共线定理的推论及空间推广 专题练习题VIP专享VIP免费

平面向量三点共线定理的推论及空间推广一．问题的来源平面向量三点共线定理:对于共面向量,，则、、三点共线的充要条件是．二．问题的提出问题1.在上述定理中，如果、时，分别有什么结论？问题2.、有什么特定的意义吗？问题3.上述问题可以推广到空间吗？三．问题的解决推论1.对于不共线向量,若，则（1）点在直线外侧（不含点一侧）的充要条件是．（2）点在直线内侧（含点一侧）的充要条件是．证明：（1）必要性：如图1-1，连OC交AB于点，则存在实数，使得，，，，．充分性：，存在，使得且．，在直线上，在直线外侧．同理可证（2）．进一步分析，得：推论.对于不共线向量,若，则（1）连接得直线，过点作平行于的直线，则、将平面分成三个区域，如图1-2点落在各区域时，、满足的条件是：（Ⅰ）区：；（Ⅱ）区：；（Ⅲ）区：．特别地，当点落在上时，；当点落在上时，．（2）直线、将平面分成四个区域，如图1-3，则点落在各区域时，、满足的条件是：（Ⅰ）区：；（Ⅱ）区：；（Ⅲ）区：；（Ⅳ）区：．证明略．推论2.若，，则，且当，则点在线段上；当，则点在线段的延长线上；当，则点在线段的延长线上．证明：且，，，。当时，与同向，如图2-1所示，则点在线段上；当时，与反向，且，如图2-2所示，则点在线段的延长线上；当时，与反向，且，如图2-3所示，则点在线段的延长线上．推论3.点是所在平面上且与不重合的一点，若，则，，．证明：只证的情形，其它情形可类似证明．由得，，存在点使得，且，，，如图3，，同理有，，命题得证．将以上结论拓展到空间，得：推论4.对于不共面的向量,若，则：（1）若，则点在平面上（空间向量基本定理）；（2）若，则点在平面的外侧（不含点O一侧）；（3）若，则点在平面的内侧（含点O一侧）．证明：仿照推论1，略．推论5.对于不共面的向量，若，则（1），，；（2）；（3），，．证明：（1），，由推论3，可知结论成立．（2）由（1）得证．（3），同理可证，．推论6.已知四面体及与其顶点不重合的点，若，则．证明：只证的情形，其它情形可类似证明．由，得，令，则四点共面，由推论5，，又，如图4，知，，同理可证，，，命题得证．四．结论的应用1．（2006年湖南（理））如图，∥，点在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是；当时，的取值范围是．解析：由推论1及推论，有，且当，有，即．答案为：，（，）．2．（2009年安徽卷（理））给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若其中,则的最大值是________．解析：由推论3，，，设，，，，此时3．(2010年高考天津卷理)如图，在中，，，则=．解析：，由推论2，得，．答案：．4．（2011届黑龙江省哈尔滨三中高三10月月考理）如图所示，两射线OA与OB交于O，下列向量若以O为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的是.①2OAOB�；②3143OAOB�；③1123OAOB�；④3145OAOB�；⑤3145OAOB�．解析：由推论1及推论，可知的系数要满足，适合的只有②．答案为②．5．（江西省十所重点中学2010届高三第一次模拟理）设点在的外部,且032OCOBOA,则OBCABCSS:=．解析：由推论3，可知OBCABCSS:=．5.（2011届江苏省南京师大附中高三学情调研）设点是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是.解析：由推论1及推论，可知满足，表示点（）到的距离的平方，由线性规化知识可得所求的范围为．6．（自编题）已知点与四面体，且，则．解析：由推论5，，可知．7．（自编题）已知点与四面体，且，则=.解析：由推论6，可知.8．（自编题）已知点是四面体内一点（不包括边界），且，则点满足的概率是.解析：因为点是四面体内一点（不包括边界），由推论4，可知满足，如图建立空间直角坐标系，表示正方体中三棱锥内部的区域，而表示以点为圆心，半径为的球体在正方体内部的区域，由几何概型知所求概率为．