幂函数图象有规律 知识点梳理汇总VIP专享VIP免费

幂函数图象有规律幂函数的图象看似复杂，其实很有规律。假如我们能抓住这些规律，那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢？1．第一象限内图象类型之规律（如图1）：1．n＞1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增。2．n＝1时，过（0，0）、（1，1）的射线。3．0＜n＜1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增。4．n＝O时，变形为y＝1（x≠0），平行于x轴的射线。5．n＜0时过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近。2．第一象限内图象走向之规律（如图1）：x≥1部分各种幂函数图象，指数大的在指数小的上方；O＜x＜1部分图象反之，此二部分图象在（1，1）点穿越直线y＝x连成一体。3．各个象限内图象分布之规律：设，互质，。1．任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象。2．n＝奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限（如图1）。3．n＝偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y轴对称（如图2）。4．n＝奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称（如图3）。5.当n<0时，图像与x轴，y轴没有交点。知识点：幂函数的图象特征:（1）任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象．先根据函数特征画出第一象限图象；①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；②时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．③时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．（2）如果幂函数是奇函数，在第象限内有其中心（坐标原点）对称部分；如果幂函数是偶函数，在第象限内有其轴（y轴）对称部分；如果幂函数是非奇非偶函数，则其函数图象只在第一象限内．（3）常见幂函数性质y=xy=xy=xy=xy=x定义域值域奇偶性单调性定点例2请把相应的幂函数图象代号填入表格。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。解析：利用上述规律，可很快地得出答案：E，C，A，G，B，I，D，H，F。例1.下列函数是幂函数的是（）A．y=xB.y=3xC.y=x+1D.y=x练习1：已知函数是幂函数，求此函数的解析式．练习2：若函数是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．题型二：幂函数性质例2：下列命题中正确的是（）A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点C．幂函数的图象不可能在第四象限内D．若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数练习3：如图，曲线c1,c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，那么一定有（）A．nn>0D．n>m>0练习4：．（1）函数y＝的单调递减区间为（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞)D．（－∞，＋∞）（2）．函数y＝x在区间上是减函数．（3）．幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是．题型三：比较大小.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），;（2），；（3），；（4），．.2.设，二次函数的图象下列之一：则a的值为（）（A）1（B）－1（C）（D）3.图中的图象所表示的函数的解析式为（）Ａ．OOOO-11-1112第1题图Ｂ．Ｃ．Ｄ．题型3：函数的图象变换．1.函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）2.将函数的图象（）（A）沿轴向右平移1个单位所得图象与函数的图象关于轴对称（B）沿轴向左平移1个单位所得图象与函数的图象关于轴对称（C）沿轴向上平移1个单位所得图象与函数的图象关于轴对称（D）沿轴向下平移1个单位所得图象与函数的图象关于轴对称3．若函数是偶函数，则函数的图象关于对称．题型4：函数图象应用3.已知定义在R上的函数关于原点对称，它在上的图象如图所示，则不等式的解集为．4．已知定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)的函数f(x)是偶函数，并且在(－∞,0)上是增函数，若f(－3)＝0，则<0的解集是（）．A．(－3,0)∪(0,3)B．(－∞,－3)∪(0,3)C．(－∞,－3)∪(3,＋∞)D．(－3,0)∪(3,＋∞)5.函数的图象与函数的图象关于原点对称，则的表达式为（）（A）（B）（C）（D）xxyxox2x