众家赏识的一道数学中考压轴题VIP专享VIP免费

众家赏识的一道中考压轴题《中小学数学》初中版2009年第7、8期刊登了曹劲松老师的《层层递进不断超越》（------北京市2008年中考压轴题赏析与拓展）一文，笔者读后，很有启发．在这之前，我也曾读了《数学教学》2009年第3期登载了唐耀高老师所写的《一道平面几何中考试题的拓展》的文章．在这篇文章中唐老师不但对该题做出了比较恰如其分的评析，而且也对该题做出了适当的拓展，同样也很有价值．当时受唐唐老师的这篇文章的影响，就准备动一下笔谈一些自己的看法，如今又看到曹老师的这篇文章，几番思索，最终决定还是试一下，于是就写下了此稿投向贵刊．【北京市2008中考压轴题】请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连结，．若，探究与的位置关系及的值．小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．【答案】（1）线段与的位置关系是；．（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图３，延长交于点，连结，．是线段的中点，．由题意可知∥．．，．．四边形是菱形，．由，且菱形的对角线恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，可得．．四边形是菱形，．．．，．即．，，DABEFCPG图1DCGPABEF图2，．．（3）．曹老师在文中先对该题的第三问给出了解答．之后，他提出可将原题中的“小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．”改成：“小聪同学的思路是：延长交的延长线于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．”并且在其后给出相关的解法，很有新意．唐老师在文中对该题的条件和结论做了如下的变式．1．将条件“菱形ABCD和菱形”改为正方形，其它条件不变，当然有，．２．若将条件“菱形ABCD和菱形”改为“长宽不相等的一般矩形ABCD≌矩形”，其它条件不变，试探求线段与的关系．如图4、图5．同时，唐老师也给出了较为详尽的解析．即：当点、、在同一直线时，有结论，且．需要补充的是：对于结论(3)，由于，仍成立．笔者追踪北京市的这道压轴题的出处发现该题原来就是根据大连2005年中考第26题的改编而成．【大连2005年中考第26题】如图6，操作：把正方形的对角线放在正方形ABCD的边的延长线上（），取线段的中点．探究：线段、的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．①的延长线交于点，且；②将正方形绕点C逆时针旋转（如图７），其他条件不变；③在②的条件下且．附加题：将正方形绕点旋转任意角度后（如图８），其他条件不变．探究：线段、的关系，并加以证明．可以看出：北京市的压轴题是由大连这道题经特殊到一般演变而成．即将其正方形改变成了菱形．与此同时也将思维层次的要求提高到了一个较高的要求即问题的第(3)问．但对于第(3)问的求解过程的寻找，本题的第(2)问的设计可以说对第(3)问的解决还有一定程度的干扰．由于第(2)问的设计的特殊性即“使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上”，加上“”，致使在分析第(3)问时，就有了某种程度的心理倾向，即旋转角最好是．这样可以保证和问题(2)相照应．对于问题(3)究竟应该如何解决，标准答案并没有公布过程．这一点现已在曹老师的文中能找到它的全解，这里就不再给出了．不过为了排除问题(2)对问题(3)的干扰，本人认为在出现从第(2)问到第(3)问这个实质上的飞跃时，必须把梯度做适当的调整．不妨就在第(2)问与第(3)问之间增加...