实数大小比较的常用方法

1 实数的大小比较的常用方法 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例 1 比较与的大小。 析解：由于，且，所以。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b 有：。 例 2 比较与的大小。 析解：由于，而，所以。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例 3 若有理数a、b、c 对应的点在数轴上的位置如图 1 所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c 的大小。 析解：如图 2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c 表示的点画出来，容易得到结论： 四、作差法： 差值比较法的基本思路是设 a，b 为任意两个实数，先求出 a 与 b 的差，再根据 55|5|,||55baba227337147)37(,63)73(2214763 3773.cbaabc2 当a－b﹥0 时，得到a﹥b。 当a－b﹤0 时，得到a﹤b。 当a－b＝0，得到a=b。 例1：（1）比较与的大小。 （2）比较1－与1－的大小。 解 －＝ ＜0 ， ∴＜。 解 （1－）－（1－）=＞0 ， ∴1－＞1－。 例2、比较的大小。 解析：因为，所以。 五、作商法 比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b 有：来比较a 与b 的大小。 例1：比较与的大小。 解： ÷=＜1 ∴＜ 例2 比较与的大小。 析解：设， ，则 ;ba1ba;ba1ba.ba1ba120081200822211112008120083332221200812008n,1200812008m3332222221111112008a ,2008a,2008a33332222,nm,11a2a1aaanm,1a2a1aaa,a2aa,0)1a(aa2aa,1a2a1aaa1a1a1a1anm,1a1an,1a1am24344342322324342323223 即 例3：比较2 0 1 02 0 0 9 与2 0 0 92 0 0 8 的大小 解：2 0 1 02 0 0 9 ÷2 0 0 92 0 0 8 =2 0 1 02 0 0 9 ×2 0 0 82 0 0 9 =4 0 3 6 0 8 04 0...