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对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解

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§2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 1.对数的概念 一般地,如果ax=N (a>0,且a≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x=logaN,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 说明:(1)实质上,上述对数表达式,不过是指数函数y=ax的另一种表达形式,例如:34=81 与4=log381 这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式ax=N⇔x=logaN,从而得对数恒等式:alogaN=N. (2)“log”同“+”“×”“ ”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面. (3)根据对数的定义,对数logaN(a>0,且a≠1)具有下列性质: ①零和负数没有对数,即 N>0; ②1 的对数为零,即 loga1=0; ③底的对数等于 1,即 logaa=1. 2.对数的运算法则 利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度. (1)基本公式 ①loga(MN)=logaM+logaN (a>0,a≠1,M>0,N>0),即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和. ②logaMN=logaM-logaN (a>0,a≠1,M>0,N>0),即两个正数的商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数. ③logaMn=n·logaM (a>0,a≠1,M>0,n∈R),即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数. (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M>0,N>0,例如loga[(-3)×(-4)]是存在的,但是loga(-3)与loga(-4)均不存在,故不能写成loga[(-3)×(-4)]=loga(-3)+loga(-4). ②防止出现以下错误:loga(M± N)=logaM± logaN,loga(M·N)=logaM·logaN,logaMN =logaMlogaN,logaMn=(logaM)n. 3.对数换底公式 在实际应用中,常碰到底数不为10 的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底公式:logbN=logcNlogcb (b>0,且b≠1;c>0,且c≠1;N>0). 证明 设 logbN=x,则 bx=N.两边 取 以c 为底的对数, 得xlogcb=logcN.所 以x=logcNlogcb,即 logbN=logcNlogcb. 换底公式体 现了 对数运算中一种常用的转化,即将 复 杂 的或 未 知的底数转化为已知的或需 要 的底数,这是数学 转化思 想 的具体 应用. 由 换底公式可推 出下面两个常用公式: (1)logbN=1logNb或 logbN·logNb=1 (N>0,且N≠1;b>0,且b≠1); (2)logbnNm=mnlogbN(N>0;b>0,且b≠1;n≠0,m∈R) . 题型一 正...

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