对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解

§2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N (a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81 与4＝log381 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N⇔x＝logaN，从而得对数恒等式：alogaN＝N. (2)“log”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面． (3)根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即 N>0； ②1 的对数为零，即 loga1＝0； ③底的对数等于 1，即 logaa＝1. 2．对数的运算法则 利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度． (1)基本公式 ①loga(MN)＝logaM＋logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和． ②logaMN＝logaM－logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数． ③logaMn＝n·logaM (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M>0，N>0，例如loga[(－3)×(－4)]是存在的，但是loga(－3)与loga(－4)均不存在，故不能写成loga[(－3)×(－4)]＝loga(－3)＋loga(－4)． ②防止出现以下错误：loga(M± N)＝logaM± logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN，logaMN ＝logaMlogaN，logaMn＝(logaM)n. 3．对数换底公式 在实际应用中，常碰到底数不为10 的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN＝logcNlogcb (b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0)． 证明 设 logbN＝x，则 bx＝N.两边 取 以c 为底的对数， 得xlogcb＝logcN.所 以x＝logcNlogcb，即 logbN＝logcNlogcb. 换底公式体 现了 对数运算中一种常用的转化，即将 复 杂 的或 未 知的底数转化为已知的或需 要 的底数，这是数学 转化思 想 的具体 应用． 由 换底公式可推 出下面两个常用公式： (1)logbN＝1logNb或 logbN·logNb＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)； (2)logbnNm＝mnlogbN(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R) . 题型一 正...