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小学六年级奥数教案—15棋盘的覆盖

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小学六年级奥数教案—15 棋盘的覆盖 本教程共3 0 讲 棋盘的覆盖 同学们会下棋吗?下棋就要有棋盘,下面是中国象棋的棋盘(图1),围棋棋盘(图2)和国际象棋棋盘(图3)。 用某种形状的卡片,按一定要求将棋盘覆盖住,就是棋盘的覆盖问题。实际上,这里并不要求一定是某种棋盘,只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题,就是棋盘的覆盖问题。 棋盘的覆盖问题可以分为两类:一是能不能覆盖的问题,二是有多少种不同的覆盖方法问题。 例1 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形,最少要用多少个右图所示的图形? 分析与解:因为图形由3个小方格构成,所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3的倍数,从而正方形的边长应是3的倍数。经试验,不可能拼成边长为3的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是6(见右图),需要用题目所示的图形 36÷3= 12(个)。 分析与解:在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。左上图共有34个小方格,17个1×2的卡片也有34个小方格,好象能覆盖住。我们将左上图黑白相间染色,得到右上图。细心观察会发现,右上图中黑格有16个,白格有18个,而 1×2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格,所以 17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各 17个,不可能盖住左上图。 例 3 下图的七种图形都是由 4个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形(可以重复使用某些图形),那么,最多可以用上几种不同的图形? 分析与解:先从简单的情形开始考虑。显然,只用 1种图形是可以的,例如用 7个(7);用 2种图形也没问题,例如用 1个(7),6个(1)。经试验,用 6种图形也可以拼成 4×7的长方形(见下图)。 能否将 7种图形都用上呢?7个图形共有4×7=28(个)小方格,从小方格的数量看,如果每种图形用 1个,那么有可能拼成 4×7的长方形。但事实上却拼不成。为了说明,我们将 4×7的长方形黑、白相间染色(见右图),图中黑、白格各有14个。在7种图形中,除第(2)种外,每种图形都覆盖黑、白格各 2个,共覆盖黑、白格各 12个,还剩下黑、白格各 2个。第(2)种图形只能覆盖 3个黑格1个白格或 3个白格1个黑格,因此不可能覆盖住另 6种图形覆盖后剩下的 2个黑格2个白格。 综上所述,要拼成 4×7的长方形,最多能用上 6种图形。 例 4 用 1×1,2×2,3×3的小正方形拼成一个 11×11的大正方形,最少要用 1×1的正方形多少个? 分析与解:用 3个 2×2正方形和 2...

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