由一个等差数列问题的变题引发的探讨VIP免费

由一个等差数列问题的变题引发的探讨某次复习课讲到这样一个问题：问题已知数列{an}的首项a1=２，前n项和为Sn，且满足２an=SnSn—1（n≥2）nN*。求证：数列成等差数列证明：因为当n≥2时，an=Sn－Sn－1，又２an=SnSn—1（n≥2）nN*所以２(Sn－Sn－1)=SnSn－1,故，即（n≥2，nN*）故成等差数列，首项为，公差为－。到此为止，问题已经基本解决，考察其变题：变题1：求上述问题中数列{an}的通项。解：由上述证明知，所以Sn＝（此时大家没有在意），从而an＝＝这里强调an与Sn的关系，注意当n＝１时不适合，必须写成分段的形式。但此时部分学生发现问题了，学生提出“an的分母怎么为零呢”？当n＝２时an的分母为零了，再一看，此时Sn的分母也为零了。题目是有问题了，此时我并没有继续讲解下一例，而是和学生一起探讨原因。（提问）是解答错误吗？原因是在等式的两边同除以SnSn－1使得分母为零了吗？不是，补充理由：若存在Sn=0，则由２(Sn－Sn－1)=SnSn－1得Sn－１=0，类似可得a1=S1=0与a1=２矛盾，因而Sn≠0，所以解答没有问题。（提问）还会是什么原因呢？我们从求an开始查找，当n＝１时，a1=２；当n＝２时，得２a２=S２S1所以２a２=(a1＋a２)a1=4＋２a２，故０=４，矛盾。这时清楚了，原来题目条件２an=SnSn—1在a1=２的条件下对nN*不恒成立，所以出现矛盾。（提问）那么，怎样修改条件２an=SnSn—1才能消除矛盾呢？变题2：将问题中条件２an=SnSn—1改为an=２SnSn—1，证明（略）继续提问：若变题1中条件２an=SnSn—1不变，只改变a1=２呢？如a1=１，题目正确吗？解：当n＝１时，a1=１；当n＝２时，２a２=S２S1得a２=１；当n=３时，２a３=S３S２得２a３=（1+1+a３）（1+1），故０=４，矛盾。这说明将a1=２改为a1=１仍不成立。（提问）将a1=２改为a1=3呢？变题3：将变题1中条件a1=２改为a1=3仿上求an都成立解：（1）当n≥2时，an=Sn－Sn－1，又２an=SnSn—1（n≥2，nN*），故２(Sn－Sn－1)=SnSn－1。若存在Sn=0，则Sn－１=0，类似可得a1=S1=0与a1=3矛盾，所以Sn≠0，从而（n≥2，nN*），故成等差数列，首项为，公差为－。（2）由（1）知，所以当n≥2时，an=SnSn－1=，又当n=1时，a1=3所以（提问）那么a1到底取什么值才正确呢？变题4已知数列{an}的首项为a1，前n项和为Sn，且满足２an=SnSn—1（n≥2，nN*），求使数列成等差数列的a1的取值范围。解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1，又２an=SnSn—1（n≥2，nN*）所以２(Sn－Sn－1)=SnSn－1因为成等差数列，所以Sn≠0，故（n≥2，nN*）从而，即，所以Sn=。由Sn≠0，得所以a1≠0，且a1≠（n≥2且nN*）因此，a1的取值范围为{a1|a1≠0且a1≠，n≥2且nN*}由此可见，当a1=2时，题目不成立；当a1=3时；题目成立。为了巩固课堂教学，课后作业补充思考题：已知f(x)=x|x-4|+2x-3，数列{an}满足an+1=（nN*），试探求a1的值，使{an}成等差数列。遇到错题是数学教学中的一个常见现象，如果只知道错了而不知道错在哪儿和为什么错，势必对学生顺利完成整个学业过程带来干扰影响学习能力提高，在教学过程中，教师要敢于承担错误，把错误当作宝贵的教学资源，引导学生对错题进行反思变换，减少解题失误，提高学生学习的信心和兴致。教学上的着力点应放在导上，通过启发引导，培养学生发现问题，归纳问题的能力，让学生体现成功的喜悦，提高教学效率。倪红林，《中学数学月刊》2010年01期P38-39