导数与函数极值、最值典型例题解析VIP免费

导数与函数极值、最值考点一运用导数解决函数的极值问题[典例](2013·福建高考节选)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．若把本例中f(x)变为“f(x)＝x－alnx(a∈R)”，试求函数的极值.[类题通法]求函数f(x)极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．[针对训练]设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．考点二运用导数解决函数的最值问题[典例](2013·苏锡常镇调研(二))已知a为正常数，函数f(x)＝|ax－x2|＋lnx.(1)若a＝2，求函数f(x)的单调增区间；(2)设g(x)＝，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．[类题通法]求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[针对训练]设函数f(x)＝alnx－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值．考点三函数极值和最值的综合问题[典例1]已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．[典例2]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．[课堂练通考点]1．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于________．3.函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________．4．(2014·苏北四市统考)已知t为常数，函数f(x)＝|x3－3x－t＋1|在区间[－2,1]上的最大值为2，则实数t＝________.5.已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2＋2)0，函数f(x)＝x＋，g(x)＝x－lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为________．8．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．9．(2014·南通一模)设a为实数，已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x.(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；(2)若方程f(x)＝0有三个不等实数根，求实数a的取值范围．10．(2014·常州调研)已知函数f(x)＝ax－lnx，g(x)＝，它们的定义域都是(0，e]，其中e是自然对数的底e≈2.7，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)当a＝1时，求证：f(m)>g(n)＋对一切m，n∈(0，e]恒成立；(3)是否存在实数a，使得f(x)的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．第三课时导数与函数的综合问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．例1：(2014·南通一模)某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，四边形ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．(1)设AB＝xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？(3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？例2(20...