微分方程建模简介

1 第三章 微分方程模型 3.1 微分方程与微分方程建模法 一、 微分方程知识简介 我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程） (2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） (3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。 0． 常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。 1． 初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(dyyQxPdxyNxMygxfdxdy (2) 齐次方程：);();(wvyuxcbyaxfdxdyxyfdxdy 常数变易法：(1) 线性方程，),()(xfyxpy (2) 伯努里方程，,)()(nyxfyxpy 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。 对于一阶隐式微分方程,0),,(yyxF有 参数法：(1) 不含 x 或 y 的方程:;0),(,0),(yyFyxF 2 (2) 可解出x或y的方程：);,(),,(yyfxyxfy 对于高阶方程，有 降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(yyyFyyyxFnkk 恰当导数方程 一阶方程的应用问题（即建模问题）。 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。 3． 高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； n 阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特殊型非齐次常系数线性方程解的待定系数法；（4）求解初值问题的拉普拉斯变换法；（5）求二阶线性方程...