第 1 页 共 26 页 浙江博成教育 微积分基本概念 第一章 函数、极限连续 重 点 ： 函 数 性 质 与函 数 的图形 函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题. 一、函数 （一）函数的概念 1．函数的定义 【定义 1.1】 设在某一变化过程中有两个变量 x 和 y ,若对非空集合 D 中的每一点 x ,都按照某一对应规则 f ,有惟一确定的实数 y 与之相对应,则称 y 是 x 的函数,记作 .),(Dxxfy x 称为自变量, y 称为因变量, D 称为函数的定义域, y 的取值范围即集合Dxxfyy),(|称为函数的值域. xoy平面上点的集合Dxxfyyx),(|),(称为函数)(xfy 的图形. 定义域 D (或记fD )与对应法则 f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同. 2．函数的表示方法 函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用. 3．函数定义域的求法 由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件. （二）函数的几何特性 1．单调性 （1）【定义 1.2】 设函数)(xf在实数集 D 上有定义,对于D 内任意两点21, xx,当 1x ＜2x 时,若总有)(1xf≤)(2xf成立,则称Dxf在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1xf＜)(2xf成立,则称)(xf在 D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(xf在 D 内单调递增时,又称Dxf是)(内的单调递增函数. 类似可以定义单调递减或严格单减. 单调递增或单调递减函数统称为单调函数. （2）可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间.对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间. 2．有界性 【定义 1.3】 设函数内有定义在集合 Dxf)(,若存在实数 M ＞0,使得对任意Dx,都有|)(|xf≤ M ,则称)(xf在 D 内有界,或称)(xf为 D 内的有界函数. 【定义 1.4】 设函数内有定义在集合 Dxf)(,若对任意的实数 M ＞0,总可以找到一Dx,使得|)(|xf＞ M ,则称)(xf...
