文 刘 大 可 最 近 有 一 个 很 有 趣 的 视 频 ， 讲 述 了 这 样 一 件 数 学 趣 事 ： 全 体 自 然 数 的 和 是 -1/12。 虽 然 果 壳 和 知 乎 上 都 已 经 有 了 问 答 ， 但 是 数 学 语 言 过 于 晦 涩 ， 不 利 于 理 解 ， 所 以 我自 己 写 了 一 份 更 简 洁 的 日 志 作 为 阐 述 ， 不 过 尽 量 保 证 了 严 谨 。 首 先 说 视 频 ， 他 是 这 么 证 明 的 ： 设 这 个 东 西 等 于 多 少 呢 ？ 很 显 然 ， 这 要 看 你 在 什 么 地 方 停 下 来 了 ， 如 果 你 停 在 第 奇 数个 1上 ， 结 果 就 是 1； 如 果 停 在 偶 数 个 1上 ， 那 结 果 就 是 0。 既 然 这 样 的 话 ， 那 就 平 均 一 下 好了 ， 它 等 于 1/2。 看 到 这 里 ， 你 显 然 会 觉 得 这 实 在 荒 唐 愚 蠢 ， 但 是 更 “ 荒 唐 ” 的 东 西 还 在 后面 ， 但 新奇 的 东 西 也在 后 面 ， 你 最 好 还 是 继续看 下 去。 好 ， 有 了 S1=1/2， 他 又令 那 么 取两个 S2错开一 位相加， 即 则有 2S2=S1=1/2，， 也就 是 S2=1/4 ！虽 然 这 让人很 不 服气， 但 是 他 接着计算 既 然 S2=1/4， 那 么 我 们大 功告成了 ， S=-1/12 ——全 体 自 然 数 的 和 是 -1/12 ！ 看 到 这 里 的 时候， 我 想 几 乎 所 有 人都 和 我 一 样 觉 得 这 实 在 是 牵 强 附 会 荒 唐 可 笑 ， 但视 频 中 一 再 声 称 这 种 算法 的 意 义 ， 所 以 我 翻 墙 出 去做 了 个 简 单 的 研 究 ， 得 到 了 这 样 的 结 论 ：我 们确 实 可 以 对 全 体 自 然 数 求 和 得 到 -1/12 ， 但 这 个 和 并 非 我 们做 加法 得 到 的 代 数 和 ， 而是发散级数和—— 这个 -1/12 根本就不“ 加 ” 出来的。于是，下面就是我对这个问题的解释，虽然有一些公式，但是都极其简单，你可以轻松阅读不费脑子。 要弄明白这个问题，我们首先要知道什么是“ 级数”以及 “ 发散级数” ，而这是一个非常简单的问题。 随便找一个数列，比如等差数列 an=n ，也...
