2025年新教材高中数学第五章数列数学归纳法课时作业含解析新人教B版选择性必修第三册

课时作业(十) 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步 n＝k 时等式成立，则当 n＝k＋1 时应得到( )A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－12．记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k＋1 边形的内角和 f(k＋1)＝f(k)＋( )A. B．πC．2π D.π3．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证 n＝1 成立时，左边所得的代数式为( )A．1 B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋44．一种与自然数 n 有关的命题，当 n＝2 时命题成立，且由 n＝k 时命题成立推得 n＝k＋2 时命题也成立，则( )A．该命题对于 n＞2 的自然数 n 都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与 k 取什么值无关D．以上答案都不对二、填空题5．用数学归纳法证明：设 f(n)＝1＋＋＋…＋，则 n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，且 n≥2)第一步要证明的式子是________________．6．用数学归纳法证明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被 6 整除”时，某同学证法如下：(1)n＝1 时 1×2×3＝6 能被 6 整除，∴n＝1 时命题成立．(2)假设 n＝k 时成立，即 k(k＋1)(2k＋1)能被 6 整除，那么 n＝k＋1 时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)． k，k＋1，k＋2 和 k＋1，k＋2，k＋3 分别是三个持续自然数．∴其积能被 6 整除．故 n＝k＋1 时命题成立．综合(1)(2)，对一切 n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被 6 整除．这种证明不是数学归纳法，重要原因是________．7．设 f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则 f(n＋1)－f(n)等于________________．三、解答题8．证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．9．设 x＞－1，且 x≠0，n 为不小于 1 的自然数，用数学归纳法证明(1＋x)n＞1＋nx.[尖子生题库]10．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且方程 x2－anx－an＝0 有一根为 Sn－1，n＝1,2,3，….(1)求 a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格证明．课时作业(十) 数学归纳法1．解析：由条件知，左边是从 20,21一直到 2n－1都是持续的，因此当 n＝k＋1 时，左边应为 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，从右边应为 2k＋1－1.答案：D2．解析：n＝...