空间几何体的表面积和体积例题解析一．课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆，理解为主）。二．命题走向----用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积(V)棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底S底·h正棱锥ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台(c+c′)h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。2．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2Vπr2h(即πr2l)πr2hπh(r21+r1r2+r22)πR3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图1图2解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。 ∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N，从而OM=ON。∴点O在∠BAD的平分线上。（2） AM=AA1cos=3×=∴AO==。又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，∴A1O=，平行六面体的体积为。题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是A．2B．3C．6D．解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。例4．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。 E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF=S,PABCDOEV1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型3：锥体的体积和表面积例5．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积？解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°。在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO，于是PO=BOtan60°=，而底面菱形的面积为2。∴四棱锥P－ABCD的体积V=×2×=2。点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。例6．在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如图所示）（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC。解析：（Ⅰ）证明： ∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC。又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC。由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得SC⊥BC。（Ⅱ）解： BC⊥AC，SC⊥BC。∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10。在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°。（Ⅲ）解：在Rt△SAC中， SA=，S△ABC=·AC·BC=×5×5=...
