选修 2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明 1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( )A．1＋<2 B．1＋＋＜2C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3[答案] B[解析] n∈N*，n＞1，∴n 取第一种自然数为 2，左端分母最大的项为＝，故选 B.2．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证 n＝1 时，左边所得的项为( )A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3[答案] B[解析] 由于当 n＝1 时，an＋1＝a2，因此此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选 B.3．设 f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么 f(n＋1)－f(n)等于( )A. B.C.＋ D.－[答案] D[解析] f(n＋1)－f(n)＝－＝＋－＝－.4．某个命题与自然数 n 有关，若 n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得 n＝k＋1 时该命题也成立．目前已知当 n＝5 时，该命题不成立，那么可推得( )A．当 n＝6 时该命题不成立B．当 n＝6 时该命题成立C．当 n＝4 时该命题不成立D．当 n＝4 时该命题成立[答案] C[解析] 原命题对的，则逆否命题对的．故应选 C.5．用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时，xn＋yn能被 x＋y 整除”，在第二步的证明时，对的的证法是( )A．假设 n＝k(k∈N*)，证明 n＝k＋1 时命题也成立B．假设 n＝k(k 是正奇数)，证明 n＝k＋1 时命题也成立C．假设 n＝k(k 是正奇数)，证明 n＝k＋2 时命题也成立D．假设 n＝2k＋1(k∈N)，证明 n＝k＋1 时命题也成立[答案] C[解析] n 为正奇数，当 n＝k 时，k 下面第一种正奇数应为 k＋2，而非 k＋1.故应选C.6．凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n＋1 边形对角线的条数 f(n＋1)为( )A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案] C[解析] 增长一种顶点，就增长 n＋1－3 条对角线，此外本来的一边也变成了对角线，故 f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选 C.7．用数学归纳法证明“对一切 n∈N*，均有 2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( )A．n＝1 时命题成立B．n＝1，n＝2 时命题成立C．n＝3 时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3 时命题成立[答案] D[解析] 假设 n＝k 时不等式成立，即 2k>k2－2，当 n＝k＋1 时 2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由 2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证 n＝1,2,3 时命题成立．故应选 D.8．已知 f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数 m，使得...
