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2025年1112高中数学2.3数学归纳法同步练习新人教A版选修

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选修 2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1.用数学归纳法证明 1+++…+1)时,第一步应验证不等式( )A.1+<2 B.1++<2C.1++<3 D.1+++<3[答案] B[解析] n∈N*,n>1,∴n 取第一种自然数为 2,左端分母最大的项为=,故选 B.2.用数学归纳法证明 1+a+a2+…+an+1=(n∈N*,a≠1),在验证 n=1 时,左边所得的项为( )A.1 B.1+a+a2C.1+a D.1+a+a2+a3[答案] B[解析] 由于当 n=1 时,an+1=a2,因此此时式子左边=1+a+a2.故应选 B.3.设 f(n)=++…+(n∈N*),那么 f(n+1)-f(n)等于( )A. B.C.+ D.-[答案] D[解析] f(n+1)-f(n)=-=+-=-.4.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得 n=k+1 时该命题也成立.目前已知当 n=5 时,该命题不成立,那么可推得( )A.当 n=6 时该命题不成立B.当 n=6 时该命题成立C.当 n=4 时该命题不成立D.当 n=4 时该命题成立[答案] C[解析] 原命题对的,则逆否命题对的.故应选 C.5.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn能被 x+y 整除”,在第二步的证明时,对的的证法是( )A.假设 n=k(k∈N*),证明 n=k+1 时命题也成立B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 时命题也成立C.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 时命题也成立D.假设 n=2k+1(k∈N),证明 n=k+1 时命题也成立[答案] C[解析] n 为正奇数,当 n=k 时,k 下面第一种正奇数应为 k+2,而非 k+1.故应选C.6.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形对角线的条数 f(n+1)为( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2[答案] C[解析] 增长一种顶点,就增长 n+1-3 条对角线,此外本来的一边也变成了对角线,故 f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选 C.7.用数学归纳法证明“对一切 n∈N*,均有 2n>n2-2”这一命题,证明过程中应验证( )A.n=1 时命题成立B.n=1,n=2 时命题成立C.n=3 时命题成立D.n=1,n=2,n=3 时命题成立[答案] D[解析] 假设 n=k 时不等式成立,即 2k>k2-2,当 n=k+1 时 2k+1=2·2k>2(k2-2)由 2(k2-2)≥(k-1)2-4⇔k2-2k-3≥0⇔(k+1)(k-3)≥0⇒k≥3,因此需要验证 n=1,2,3 时命题成立.故应选 D.8.已知 f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数 m,使得...

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