抛物线及其性质知识点及题型归纳总结

抛物线及其性质知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线 )(lFl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 注 若在定义中有lF  ，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有 4 种形式：)0(2,2,2,22222ppyxpyxpxypxy，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表 10-3 所示） 表 10-3 标准方程 )0(22ppxy )0(22ppxy )0(22ppyx )0(22ppyx 图形 对称轴 x轴 y 轴 顶点 原点)0,0( 焦点坐标 )0,2( p )0,2(p )2,0(p )2,0(p 准线方程 2px 2px  2py 2py  三、抛物线中常用的结论 1. 点),(00 yxP与抛物线)0(22ppxy的关系 （1） P 在抛物线内（含焦点）0202 pxy . （2） P 在抛物线上0202 pxy . （3） P 在抛物线外0202 pxy . 2. 焦半径 抛物线上的点),(00 yxP与焦点F 的距离称为焦半径，若)0(22ppxy，则焦半径20pxPF，2maxpPF. 3. )0(pp的几何意义 y x O F l y x O F l y x O F l F y x O l p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大. 4. 焦点弦 若AB 为抛物线)0(22ppxy的焦点弦， ),(11 yxA，),(22 yxB，则有以下结论： （1）4221pxx. （2）221pyy. （3）焦点弦长公式1：pxxAB21，pxxxx21212，当21xx 时，焦点弦取最小值p2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p2. 焦点弦长公式2：2sin2 pAB （ 为直线AB 与对称轴的夹角）. （4）AOB的面积公式：sin22pSAOB （ 为直线AB 与对称轴的夹角）. 5.抛物线的弦 若AB 为抛物线22(p0)ypx 的任意一 条 弦，1122(x , y ),B(x , y )A ，弦的中点为000(x , y )(y0)M ，则 （1） 弦长公式：212122111(kk0)ABABkxxyyk （2） 0ABpky （3） 直线AB 的方程为000(xx )pyyy （4） 线段 AB 的垂直平分线方程为000(xx )yyyp  6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法） （1）2(A0),yAx 焦点为(,0)4A ，准线为4Ax   (2) 2(A0),xAy 焦点为(0,)4A ，准线为4Ay   如24yx，即24yx ，焦点为1(...