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抛物线及其性质知识点及题型归纳总结

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抛物线及其性质知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线 )(lFl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线. 注 若在定义中有lF  ,则动点的轨迹为l 的垂线,垂足为点F . 二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有 4 种形式:)0(2,2,2,22222ppyxpyxpxypxy,其中一次项与对称轴一致,一次项系数的符号决定开口方向(如表 10-3 所示) 表 10-3 标准方程 )0(22ppxy )0(22ppxy )0(22ppyx )0(22ppyx 图形 对称轴 x轴 y 轴 顶点 原点)0,0( 焦点坐标 )0,2( p )0,2(p )2,0(p )2,0(p 准线方程 2px 2px  2py 2py  三、抛物线中常用的结论 1. 点),(00 yxP与抛物线)0(22ppxy的关系 (1) P 在抛物线内(含焦点)0202 pxy . (2) P 在抛物线上0202 pxy . (3) P 在抛物线外0202 pxy . 2. 焦半径 抛物线上的点),(00 yxP与焦点F 的距离称为焦半径,若)0(22ppxy,则焦半径20pxPF,2maxpPF. 3. )0(pp的几何意义 y x O F l y x O F l y x O F l F y x O l p 为焦点F 到准线l 的距离,即焦准距,p 越大,抛物线开口越大. 4. 焦点弦 若AB 为抛物线)0(22ppxy的焦点弦, ),(11 yxA,),(22 yxB,则有以下结论: (1)4221pxx. (2)221pyy. (3)焦点弦长公式1:pxxAB21,pxxxx21212,当21xx 时,焦点弦取最小值p2,即所有焦点弦中通径最短,其长度为p2. 焦点弦长公式2:2sin2 pAB ( 为直线AB 与对称轴的夹角). (4)AOB的面积公式:sin22pSAOB ( 为直线AB 与对称轴的夹角). 5.抛物线的弦 若AB 为抛物线22(p0)ypx 的任意一 条 弦,1122(x , y ),B(x , y )A ,弦的中点为000(x , y )(y0)M ,则 (1) 弦长公式:212122111(kk0)ABABkxxyyk (2) 0ABpky (3) 直线AB 的方程为000(xx )pyyy (4) 线段 AB 的垂直平分线方程为000(xx )yyyp  6.求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法(4A法) (1)2(A0),yAx 焦点为(,0)4A ,准线为4Ax   (2) 2(A0),xAy 焦点为(0,)4A ,准线为4Ay   如24yx,即24yx ,焦点为1(...

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