放缩法的应用技巧

放缩法的应用技巧 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。 一、常见的放缩方法 证题中经常用到的放缩方法法有： 1.“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果； 2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果； 3.利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。 二、常见的放缩控制 当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控，导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？ 例 1．求证：4713121112222n 分析1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。 若采取“)1(112nnn )2(1)1(1nnn ”的方法向右端放大， 则左边nn)1(13212111)2111(1)3121(47212)111(nnn 很明显，放得有点大了，导致传递性失败，不等式链中断，放缩失败。那怎么办呢？ 【1 】 调整放缩的“量”的大小 分析2：分析1 中“放”的有点过大，因为，，放大了41211212，，放大了181321312所以可以通过调整放大的“量”来控制放缩的效果。在)1(112nnn分母减少了n，我们可以把分母只减少 1，即），（2)1111(2111122nnnnn这样放的量就少了。 证明1：左边<1)3111(21)4121( )5131( +)1111(nn=1+)111211(21nn<1+)211(21 = 74 【2 】 调整放缩的“项”的起点 分析3：分析1 中从第二项开始放缩，放的最终有点大。可以调整放缩的项数，从第三项开始放缩。 证明2：左边nn)1(1321411411)3121(47147)111(nnn 由此可见，调整成功。显然从第三项开始放缩所得的结...