李庆扬数值分析第五版第3章习题答案(20130702)

本章习题中有几道题不会做，待再复习时完善。 第3 章 复习与思考题 1、设f C [a , b]，写出三种常用范数12|||| ,||| ,||| .fff 答： 1|||||( ) |baff x dx  22||||( )baff x dx  ||||max |( ) |a x bff x  2、f , g C [a , b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{ 0,  1, …,  n}C [a , b]在[a ,b]上线性无关？ 解：f , g C [a , b]，其内积为 ( , )( ) ( )baf gf x g x dx  函数族{ 0,  1, …,  n}C [a , b]在[a ,b]上线性无关，必须满足矩阵 G 的行列式不等于 0 111212122212(,)(,)...(,)(,)(,)...(,)............(,)(,)...(,)nnnnnnG           ，det0G 。 3、什么是函数f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳一致逼近多项式？ 解： 设( )npx 为最佳逼近函数，则 f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳一致逼近多项式 *||( )( ) || min ||( )( ) ||nf xp xf xpx 取∞-范数，则 *||( )( ) || min{max |( )( ) |}na x bf xp xf xp x  4、什么是f 在[a , b] 上的n 次最佳平方逼近多项式？什么是数据 mif0 的最小二乘曲线拟合？ 解： 设( )npx 为最佳逼近函数，则f C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳平方逼近多项式 *22||( )( ) ||min ||( )( ) ||nf xp xf xpx 取2-范数，则 *22||( )( ) ||min { ( )( )}bnaf xpxf xpxdx 问题：为什么选择不同的范数求解？ 由于各种范数的收敛性保持一致，因此可以选择最有利于求解的范数进行求解。 5、什么是[ a , b ]上带权 (x)的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什么重要性质？ 解： 设( )n x是[ a , b ]上首系数0na 的n 次多项式，( )x为[ a , b ]上的权函数，如果多项式序列( ) 0n x满足如下关系式 0(,)( )( )( )dbjkjkkajkxxxxA jk   ， 则称多项式序列( ) 0n x为在[ a , b ]上带权 ( )x正交，称( )n x为在[ a , b ]的带权 ( )x正交多项式。 当区间为[ -1 ,1 ]，权函数( )1x ，由21, ,,...nx xx正交化...