二、计算题 1 . 从1, 2, 3,… , 15 中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5 的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A 表示“甲取到的数比乙大”, 设事件B 表示“甲取到的数是5 的倍数”. 则显然所要求的概率为 P(A|B). 根据公式 而 P(B)=3/15=1/5 , , ∴ P(A|B)=9/14. 2 . 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有 1 点的概率. 解.设事件A 表示“掷出含有 1 的点数”, 设事件B 表示“掷出的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为 P(A|B). 根据公式 , , ∴ P(A|B)=1/2. 3 . 袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了 N 次都没有取到黑球的概率. 1 解.设事件Ai表示“第 i次取到白球”. (i=1,2,…,N) 则根据题意 P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3. 而 P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4 . 由数学归纳法可以知道 P(A1A2…AN)=1/(N+1). 4 . 甲袋中有5 只白球, 7 只红球;乙袋中有4 只白球, 2 只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A 表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”, 事件B 表示“最后取到的是白球”. 根据题意 : P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. ∴ . 5 . 有甲、乙两袋,甲袋中有3 只白球,2只黑球;乙袋中有4 只白球,4 只黑球.现从甲袋中任取2 个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 解.设事件Ai表示“从甲袋取的2 个球中有i个白球”,其中i=0,1,2 . 事件B 表示“从乙袋中取到的是白球”. 显然A0, A1, A2 构成一完备事件组,且根据题意 P(A0)=1/10 , P(A1)=3/5 , P(A2)=3/10 ; P(B|A0)=2/5 , P(B|A1)=1/2 , P(B|A2)=3/5 ; 由全概率公式 P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2) =2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25. 6 . 袋中装有编号为 1, 2,… , N 的 N 个球,先从袋中任取一球,如该球不是 1 号球就放回袋中,是 1 号球就不放回,然后再摸一次,求取到 2 号球的概率. 解.设事件 A 表示“第一次取到的是 1 号球”,则 表示“第一次取到的是非 1 号球”; 事件 B表示“最后取到的是 2号球”. 显然 P(A)=1/N, , 且 P(B|A)=1/(N-1), ; ∴ =1/(N-1)×1/N+...
