柯西不等式与排序不等式

柯西不等式与排序不等式 一、基本概念： （一）定理 1：二维形式的柯西不等式 若 , , ,a b c d 都是实数，则22222()()()abcdacbd，当且仅当 adbc时，等号成立. 证明：（一）代数证明：2222222222222a cb cb da da cb dabcd 222220b cabcda d2()0bcad当且仅当adbc时，等号成立. （二）向量证明：构造向量( , ),( , )a bc d，则有cos     其坐标形式即为2222acbdabcd 当且仅当 ,  共线或0 时等号成立，即当且仅当adbc时，等号成立. 推论 1：2222abcdacbd（来源于向量证明中） 推论 2：2222abcdacbd（将原式中 , , ,a b c d 都变为,,,a b c d ） 定理 2：柯西不等式的向量形式 设α,β是两个向量，则αβαβ 当且仅当β是零向量，或存在实数 k ，使α= kβ时，等号成立. 证明：上述向量证明已经说明完毕 定理 3：二维形式的三角不等式 设1122,,,x y x yR，那么22222211221212()()xyxyxxyy 证明：2222222222222112211112222222211121222222211121222221212()222()()()xyxyxyxyxyxyxyx xy yxyxyx xy yxyxxyy 即22222211221212()()xyxyxxyy原命题的证 （二）一般形式的柯西不等式 设123123,,,,, , , ,,nna a aa b b bb是实数，则222222212121 12 2()() ()nnn naaabbbaba ba b 当且仅当0(1,2,, )ibin或存在一个数k ，使得(1,2,, )iiakb in时，等号成立 . 简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方 分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式22222221231231 12 23 3()() ()aaabbbaba ba b，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？ 证明：（一）构造二次函数：222( )20iii iif xa xa b xb，222( )( ) ()2()0iii iiF xf xa xab xb （二）归纳法和平均值不等式： （1）当2n 时，有22 22 22 22 22 22 222221 12 21 11 1 2 22 21 11 22 12 21212()2()()aba ba baba ba ba ba ...