梯形中常见辅助线的添法

浅析梯形的辅助线 宣威市羊场镇初级中学 张荣芝 梯形的问题可通过添加辅助线化归成我们熟悉的平行四边形和三角形，添辅助线可达到集中已知条件或构造基本图形等目的。这种化归的思想是数学中研究问题的重要方法．下面我们来看看几种在梯形中常见的添辅助线的方法. (一)与腰有关的辅助线 例1、已知：在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=12，∠C=60°，求 AB 的长. (1)梯形内平移一腰(也就是我们常说的作腰的平行线) 解：方法一（平移腰） 过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于 E AD∥BC ∴四边形ABED 是平行四边形 ∴AD=BE=4 ∴EC=BC-BE=8 AB=CD ∴DE=DC ∴∠C=60° ∴EC=DE=DE=8 ∴AB=8 CDABECDAB(2)梯形外平移一腰 解：方法二 过点C 作CE∥AB 交AD 的延长线于E AD∥BC ∴四边形ABCE 是平行四边形 ∴AB=CE AB=CD ∴CD=CE AD∥BC，∠C=60° ∴∠CDE=60° △CDE 是等边三角形 AD=4，BC=12 ∴EC=DE=DE=8 ∴AB=8 (3)延长两腰 解：方法三（延腰） 延长BA、CD 交于点E， AD∥BC，AB=CD，∠C=60°， ∴∠B=∠C=60° ∠EAD=∠EDA=60°. ∴△EBC 和△EAD 都是等边三角形. AD=4，BC=12∴EA=4，EB=12. ∴AB=EB-EA=12-4=8. (4)平移两腰： 例2、 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 EF，求 EF 的长。 分析：由条件 ,我们通过平移AB 、 DC ；构造直角三角形EGH,使EF 恰好是 RT△EGH 的中线． 解：过点 E 分别作 AB、CD 的平行线，交 BC 于点 G、H，可得 ∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90° 则△EGH 是直角三角形 因为 E、F 分别是 AD、BC 的中点，容易证得 F 是 GH 的中点 所以)(2121CHBGBCGHEF 1)13(21)(21)]([21)(21ADBCDEAEBCDEAEBC 小结：平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形． (二)与高有关的辅助线 例3、已知：在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，AD=4，BC=12，∠C=60°，求 AB 的长. 解：过点 A 作 AE⊥BC 于 E，过点 D 作 DF⊥BC 于 F AD∥BC ∴AE=DF，四边形AEFD 是矩形 ∴AD=EF=4 AB=DC ∴Rt△ABE≌Rt△DFC（HL） ∴BE=FC ∴2CF=BC-EF=12-4=8 ∴CF=4 ∠C=60° ∴∠CDF=30° 在Rt△DFC 中，DC=2CF=8 ∴AB=8 例4、如图，已知在直角梯形ABCD 中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°...