森林救火模型

森林救火模型 问题提出：森林失火了，消防队接到报警后应派多少消防队员去救火 呢？ 一、问题分析: 派出的队员越多，森林损失越小，但是救援开支会越多，所以需要综合考虑森林的损失费和救援费与队员人数之间的关系，以总费用最少来决定派出队员的数目。 损失费通常正比于森林烧毁面积，而烧毁面积与失火、灭火时间有关，灭火时间又取决于消防队员数目，队员越多，灭火时间越短。而救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。记失火时刻为0t，开始救火时刻为1tt，设在时刻t森林烧毁面积为)(tB，则造成损失的森林烧毁面积为)( 2tB，建模要对函数)(tB的形式作出合理的简单假设。 研究 dtdB比)(tB更为直接和方便，dtdB是单位时间烧毁面积，表示火势蔓延的程度。在消防队员到达之前，即21ttt时，火势越来越大，即 dtdB随 t的增加而增加；开始救火后，即21ttt，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，即 dtdB应该减小，并且当2tt时，有0dtdB 。 救援费可以分为两个部分：一部分是灭火材料的损耗和消防队员的薪金等，与队员数量及灭火时间有关；另外一部分是运送队员一次性支出，只与消防队员人数有关。 二、模型假设： 1、森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风条件下发生的。 2、损失费与森林烧毁面积)( 2tB成正比，比例系数1c 为单位烧毁面积 的损失费。 3 、从失火到开始救火这段时间（10tt ）内，火势蔓延程度 dtdB与时间t 成正比，比例系数β 为火势蔓延速度，即： ;0,1tttdtdB  4 、派出消防队员x 名，开始救火后（1tt ），火势蔓延速度降为 x ，其中  为每个队员的平均灭火速度，显然有x 。 因 为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延速度，否则火 势 将难以控制。 5 、每个消防队员单位时间费用为2c （包括灭火材料的消耗及消防队 员的薪金等），救火时间为12tt ；每个队员的一次性支出为3c（运 送队员、器材一次性支出）。 对于假设 3 作如下解释：由于森林中树木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火势可以看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半径r 与时间t 成正比，又因为烧毁面积 B 与2t 成正比，从而 dtdB与t 成正比。 三、模型的构成： 根据假设条件3，4，火势蔓延程度dtdB在10tt  线性地增加，在21ttt线性地减少，图形如下： 记 1tt 时bdtdB，烧毁面积...