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2025年帮你归纳总结导数中的恒成立问题来源学优高考网

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帮你归纳总结(六):导数中的恒成立问题 一、常见基本题型: (1)已知某个不等式恒成立,去求参数的取值范围; (2)让你去证明某个不等式恒成立。 解此类问题的指导思想是:构造函数,或参变量分离后构造函数,转化为求新函 数的最值问题。 例 1:已知函数, 当时,不等式恒成立, 求实数的取值范围.解:不等式可化为, 即. 记,要使上式成立, 只须是增函数即可。 即在[1,)上恒成立, 即在上恒成立,故, 因此实数的取值范围是(-,2] 。例 2:已知,函数.(1)若函数在处的切线与直线平行,求的值; (2)在(1)的条件下,若对任意,恒成立,求实数的取值构成的集合. 解:(1),由已知, 即,,解得或,又由于,因此。(2)当时,,由(2)知该函数在上单调递增, 因此在区间上的最小值只能在处取到。 又, 若要保证对任意,恒成立,应当有, 即,解得, 因此实数的取值构成的集合是。 例 3。 函数,设,若, 求证:对任意,且,均有. 证明:由于, 因此, 由于,因此(当且仅当时等号成立), 因此在区间上是增函数, 从而对任意,当时,, 即,因此。二、针对性练习 1.已知函数在处获得极值,若对任意,不等 式恒成立, 求实数的取值范围. 解:函数的定义域为 又, 由题设在处获得极值,∴,即或。 ∴. 不等式恒成立, 即 恒成立。 又∴,当且仅当时, 故时,不等式恒成立. 2、设函数 (Ⅰ)求函数的极值点; (Ⅱ)当 p>0 时,若对任意的 x>0,恒有,求 p 的取值范围; 解:(1), 当 上无极值点 当 p〉0 时,令的变化状况如下表:x(0,)+0-↗极大值↘ 从上表可以看出:当 p〉0 时,有唯一的极大值点 (Ⅱ)当 p〉0 时在处获得极大值,此极大值也是最大值, 要使恒成立,只需, ∴。 3.已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间; (Ⅱ)若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,问:在什么范 围取值时,对于任意的,函数在区间上总存在 极值? 解:(Ι)由知: 当时,函数的单调增区间是,单调减区间是; 当时,函数的单调增区间是,单调减区间是; (Ⅱ)由,∴,. 故, ∴, ∵ 函数在区间上总存在极值, ∴有两个不等实根且至少有一种在区间内 又∵函数是开口向上的二次函数,且,∴ 由,∵在上单调递减, 因此;∴, 由, 解得;综上得: 因此当在内取值时,对于任意的,函数 在区间上总存在极值.

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