帮你归纳总结(六）：导数中的恒成立问题 一、常见基本题型： （1）已知某个不等式恒成立，去求参数的取值范围； （2)让你去证明某个不等式恒成立。 解此类问题的指导思想是：构造函数，或参变量分离后构造函数，转化为求新函 数的最值问题。 例 1：已知函数, 当时，不等式恒成立， 求实数的取值范围.解：不等式可化为， 即. 记，要使上式成立， 只须是增函数即可。 即在［1，)上恒成立， 即在上恒成立，故， 因此实数的取值范围是（-，2］ 。例 2:已知，函数．（1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2）在(1）的条件下，若对任意，恒成立，求实数的取值构成的集合． 解：（1），由已知， 即,,解得或,又由于,因此。（2）当时，，由（2）知该函数在上单调递增, 因此在区间上的最小值只能在处取到。 又， 若要保证对任意，恒成立,应当有， 即，解得， 因此实数的取值构成的集合是。 例 3。 函数，设，若， 求证：对任意，且，均有. 证明：由于， 因此， 由于，因此(当且仅当时等号成立）， 因此在区间上是增函数， 从而对任意，当时，， 即，因此。二、针对性练习 1.已知函数在处获得极值,若对任意,不等 式恒成立， 求实数的取值范围． 解：函数的定义域为 又, 由题设在处获得极值，∴，即或。 ∴. 不等式恒成立， 即 恒成立。 又∴,当且仅当时， 故时，不等式恒成立. 2、设函数 （Ⅰ）求函数的极值点； （Ⅱ)当 p＞0 时，若对任意的 x＞0，恒有，求 p 的取值范围; 解:（1）， 当 上无极值点 当 p〉0 时,令的变化状况如下表:x（0，）+0－↗极大值↘ 从上表可以看出：当 p〉0 时，有唯一的极大值点 （Ⅱ)当 p〉0 时在处获得极大值,此极大值也是最大值, 要使恒成立,只需， ∴。 3.已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间; （Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范 围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在 极值？ 解：（Ι)由知： 当时，函数的单调增区间是,单调减区间是； 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是; (Ⅱ）由，∴,. 故， ∴， ∵ 函数在区间上总存在极值， ∴有两个不等实根且至少有一种在区间内 又∵函数是开口向上的二次函数，且,∴ 由,∵在上单调递减, 因此；∴， 由， 解得；综上得： 因此当在内取值时，对于任意的，函数 在区间上总存在极值.
