椭圆定点定值专题

椭圆定点、定直线问题 1．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，短轴长为4． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C 上两个定点，A、B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的动点． ①若直线AB 的斜率为，求四边形 APBQ 面积的最大值； ②当 A、B 两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ 时，直线AB 的斜率是否为定值，说明理由． 2．已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点F 与椭圆C 交于 M，N 两点，若 AM、AN 的斜率k1，k2满足 k1+k2=m（定值 m≠0），求直线l 的斜率． 3．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆的焦距为2，且过点． （1）求椭圆E 的方程； （2）若点A，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于 x 轴，点P 是椭圆上异于 A，B 的任意一点，直线AP 交 l 于点M． （ⅰ）设直线OM 的斜率为k1，直线BP 的斜率为k2，求证：k1k2为定值； （ⅱ）设过点M 垂直于 PB 的直线为m．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标． 2 4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x 轴的交点为N，满足，设A、B 是上半椭圆上满足的两点，其中． （1）求椭圆的方程及直线AB 的斜率k 的取值范围； （2）过A、B 两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P 是否恒在某定直线上运动，请说明理由． 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1 上． （1）求椭圆的方程； （2）设A，B，M 是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使． （i）求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； （ii）求OA2+OB2． 6．已知椭圆的左焦点为F（﹣，0），离心率e=，M、N 是椭圆上的动点． （Ⅰ）求椭圆标准方程； （Ⅱ）设动点P 满足：，直线OM 与ON 的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出 F1，F2的坐标，若不存在，说明理由． （Ⅲ）若 M 在第一象限，且点M，N 关于原点对称，点M 在x 轴上的射影为A，连接 NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB． 7．一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0 上一点P 反射后，恰好穿过点F2（1，0）． （1）求P 点的坐标； （2）求以 F1、F2为焦点且过点P 的椭圆C 的方程； （3）设点Q 是...