椭圆定点、定直线问题 1.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为,短轴长为4. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)P(2,n),Q(2,﹣n)是椭圆C 上两个定点,A、B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的动点. ①若直线AB 的斜率为,求四边形 APBQ 面积的最大值; ②当 A、B 两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ 时,直线AB 的斜率是否为定值,说明理由. 2.已知椭圆的离心率为,且经过点. (1)求椭圆C 的方程; (2)已知A 为椭圆C 的左顶点,直线l 过右焦点F 与椭圆C 交于 M,N 两点,若 AM、AN 的斜率k1,k2满足 k1+k2=m(定值 m≠0),求直线l 的斜率. 3.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的焦距为2,且过点. (1)求椭圆E 的方程; (2)若点A,B 分别是椭圆E 的左、右顶点,直线l 经过点B 且垂直于 x 轴,点P 是椭圆上异于 A,B 的任意一点,直线AP 交 l 于点M. (ⅰ)设直线OM 的斜率为k1,直线BP 的斜率为k2,求证:k1k2为定值; (ⅱ)设过点M 垂直于 PB 的直线为m.求证:直线m 过定点,并求出定点的坐标. 2 4.已知F1,F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点,半焦距为c,直线x=﹣与x 轴的交点为N,满足,设A、B 是上半椭圆上满足的两点,其中. (1)求椭圆的方程及直线AB 的斜率k 的取值范围; (2)过A、B 两点分别作椭圆的切线,两切线相交于一点P,试问:点P 是否恒在某定直线上运动,请说明理由. 5.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆(a>b>0)的离心率为,其焦点在圆x2+y2=1 上. (1)求椭圆的方程; (2)设A,B,M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使. (i)求证:直线OA 与OB 的斜率之积为定值; (ii)求OA2+OB2. 6.已知椭圆的左焦点为F(﹣,0),离心率e=,M、N 是椭圆上的动点. (Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ)设动点P 满足:,直线OM 与ON 的斜率之积为﹣,问:是否存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?,若存在,求出 F1,F2的坐标,若不存在,说明理由. (Ⅲ)若 M 在第一象限,且点M,N 关于原点对称,点M 在x 轴上的射影为A,连接 NA 并延长交椭圆于点B,证明:MN⊥MB. 7.一束光线从点F1(﹣1,0)出发,经直线l:2x﹣y+3=0 上一点P 反射后,恰好穿过点F2(1,0). (1)求P 点的坐标; (2)求以 F1、F2为焦点且过点P 的椭圆C 的方程; (3)设点Q 是...