168 第五章 大数定律与中心极限定理 我们知道，随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生，但在大量的重复试验中随机事件的发生却呈现出明显的规律性，例如人们通过大量的试验认识到随机事件的频率具有稳定性这一客观规律.实际上，大量随机现象的一般平均结果也具有稳定性，大数定律以严格的数学形式阐述了这种稳定性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在联系. 客观世界中的许多随机现象都是由大量相互独立的随机因素综合作用的结果，而其中每个随机因素在总的综合影响中所起作用相对微小.可以证明，这样的随机现象可以用正态分布近似描述，中心极限定理阐述了这一原理. §1 大 数 定 律 首先我们介绍证明大数定律的重要工具—切比雪夫（Chebyshev）不等式. 1.1 切比雪夫不等式 定理1.1 设随机变量X 数学期望()E X 和方差()D X都存在，则对任意给定的正数 ，成立 2()()D XPXE X. （1.1） 证明 只对 X 是连续型随机变量情形给予证明. 设 X 的密度函数为( )f x，则有 ()PXEX()()dxEXfxx 22()[()]()dxEXxEXfxx 221[()]()dxEXfxx 169 2()DX. 称（1.1）为切比雪夫不等式，它的等价形式为 2()|() |1.D XPXE X （1.2） 切比雪夫不等式直观的概率意义在于：随机变量 X 与它的均值()E X的距离大于等于 e 的概率不超过21 D X（）e.在随机变量X 分布未知的情况下，利用切比雪夫不等式可以给出随机事件{()}XE X的概率的一种估计.例如当3()D X 时，有 8|() |3()0.8889.9PXE XD X 也就是说，随机变量X 落在以()E X为中心，以3()D X为半径的邻域内的概率很大，而落在该邻域之外的概率很小.当()D X较小时，随机变量X 的取值集中在()E X附近，而这正是方差这个数字特征的意义所在. 例 1.1 已知随机变量X 和Y 的数学期望、方差以及相关系数分别为()()2E XE Y, ()1D X, ()4D Y,,0.5X Y,用切比雪夫不等式估计概率{6}PXY. 解 由于 ()()()0E XYE XE Y, ,(,)()()1X YCov X YD XD Y, ()()()2(,)523D XYD XD Ycov X Y, 170 由切比雪夫不等式，有 2(){6}{ ()()6}6D XYPXYPXYE XY 310.08333612. 例1.2 假设某电站供电网有10000 盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概...
