用特征方程求数列的通项

1 用特征方程求数列的通项 一、递推数列特征方程的研究与探索 递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的？ （一）、 若数列 na满足),0(,11cdcaabann其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列： 设tccaatactannnn)1(),(11则 ，令dtc )1(，即 1 cdt，当1c时可得 )1(11cdaccdann，知数列1cdan是以c 为公比的等比数列，11)1(1nnccdacda 将ba 1代入并整理，得11cdcbdbcannn. 故数列dcaann1对应的特征方程是：x=cx+d （二）、二阶线性递推数列,11nnnqapaa 仿上，用上述参数法我们来探求数列nntaa1的特征：不妨设)(11nnnntaastaa，则11)(nnnstaatsa, 令 qstpts （ ※） （1）若方程组（ ※）有两组不同的实数解),(),,(2211tsts, 则)(11111nnnnatasata, )(12221nnnnatasata, 即nnata11 、nnata21 分别是公比为1s 、2s 的等比数列，由等比数列通项公式可得1111211)(nnnsataata ①, 1212221)(1nnnsataata ②, ,21tt 由上两式①+②消去1na可得 nnnsttsatasttsataa22121221211112... （2）若方程组（ ※）有两组相等的解2121ttss，易证此时11st，则)(2112111111nnnnnnatasatasata 2 )(11211atas n，211121111sasasasannnn,即nnsa1是等差数列，由等差数列通项公式可知21112111.1sasansasann，所以nnsnsasasasasaa1211122111211.． 这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（※）消去t 即得02qpss，显然1s 、2s 就是方程qpxx2的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列11nnnqapaa的特征方程， 所以有结论： 若递推公式为 ,11nnnqapaa 则其特征方程为 qpxx2 1、 若方程有两相异根1s 、2s ，则nnnscsca2211； 2、 若方程有两等根21ss ，则nnsncca121)(. 其中1c...