1 用特征方程求数列的通项 一、递推数列特征方程的研究与探索 递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法,递推数列问题能力要求高,内在联系密切,蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的? (一)、 若数列 na满足),0(,11cdcaabann其通项公式的求法一般采用如下的参数法,将递推数列转化为等比数列: 设tccaatactannnn)1(),(11则 ,令dtc )1(,即 1 cdt,当1c时可得 )1(11cdaccdann,知数列1cdan是以c 为公比的等比数列,11)1(1nnccdacda 将ba 1代入并整理,得11cdcbdbcannn. 故数列dcaann1对应的特征方程是:x=cx+d (二)、二阶线性递推数列,11nnnqapaa 仿上,用上述参数法我们来探求数列nntaa1的特征:不妨设)(11nnnntaastaa,则11)(nnnstaatsa, 令 qstpts ( ※) (1)若方程组( ※)有两组不同的实数解),(),,(2211tsts, 则)(11111nnnnatasata, )(12221nnnnatasata, 即nnata11 、nnata21 分别是公比为1s 、2s 的等比数列,由等比数列通项公式可得1111211)(nnnsataata ①, 1212221)(1nnnsataata ②, ,21tt 由上两式①+②消去1na可得 nnnsttsatasttsataa22121221211112... (2)若方程组( ※)有两组相等的解2121ttss,易证此时11st,则)(2112111111nnnnnnatasatasata 2 )(11211atas n,211121111sasasasannnn,即nnsa1是等差数列,由等差数列通项公式可知21112111.1sasansasann,所以nnsnsasasasasaa1211122111211.. 这样,我们通过参数方法,将递推数列转化为等比(差)数列,从而求得二阶线性递推数列的通项,若将方程组(※)消去t 即得02qpss,显然1s 、2s 就是方程qpxx2的两根,我们不妨称此方程为二阶线性递推数列11nnnqapaa的特征方程, 所以有结论: 若递推公式为 ,11nnnqapaa 则其特征方程为 qpxx2 1、 若方程有两相异根1s 、2s ,则nnnscsca2211; 2、 若方程有两等根21ss ,则nnsncca121)(. 其中1c...