直线与圆的综合问题 考点一 与圆有关的最值问题 考法(一) 斜率型最值问题 [典例] 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最大值和最小值． [解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k，即 y＝kx. 当直线 y＝kx 与圆相切时(如图)，斜率 k 取得最大值或最小值， 此时|2k－0|k2＋1＝3， 解得 k＝±3. 所以yx的最大值为3，最小值为－3. [解题技法] 形如 μ＝y－bx－a型的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．如本题yx＝y－0x－0表示过坐标原点的直线的斜率． 考法(二) 截距型最值问题 [典例] 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，求 y－x 的最大值和最小值． [解] y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，如图所示，当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得 b＝－2±6.所以y－x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6. [解题技法] 形如μ＝ax＋by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b＝y－x，即y＝x＋b，从而将y－x 的最值转化为求直线y＝x＋b 的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理为(x －2)2 ＋y2 ＝3 ，故可令 x－2＝3cos θ，y＝3sin θ，即 x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ，从而y－x＝3sin θ－3cos θ－2＝6sinθ－π4 －2，进而求出y－x 的最大值和最小值． 考法(三) 距离型最值问题 [典例] 已知实数x，y 满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2 的最大值和最小值． [解] 如图所示，x2＋y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2， 所以x2＋y2 的最大值是(2＋3)2＝7＋4 3， x2＋y2 的最小值是(2－3)2＝7－4 3. [解题技法] 形如μ＝(x－a)2＋(y－b)2 型的最值问题，可转化为动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方求最值．如本题中x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，从而转化为动点(x，y)与坐标原点的距离的平方． [题组训练] 1．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆上任意一点，则y－2x－1的最大值为________． 解析：设y－2x－1＝k，即kx－y－k＋2＝0， 圆心C(－2,0)，r＝1. 当直线与圆...
