相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析

相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析 1．相似三角形的概念： 在 和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上). 思考：在 中,点是边的中点,，交于点， 与 有什么关系？ 猜想： 与 相似. 证明：在 与 中， ∴，. 过点作，交于点 在中，， ，∴. 又 ， ∴ ∴， ∴∽ (对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为. 改变点在上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似. 2．相似三角形的判定 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似. 思考：对比三角形全 等 判定的简 单 方 法()，看是否也有简便的方法？ 已知：在 和中，. 求证： ∽. 证明：在线段(或它的延长线)上截取，过点作，交于点， 根据前面的结论可得 ∽. ∴ 又 ， ∴ ∴ 同理： ∴≌ ∴∽ 相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似. 思考：若，，与是否相似呢？ 相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 进一步引申：若，，与是否相似呢？ 不一定 问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等. 例 1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，； ，，. (2)，，； ，，. 解：(1)， ∴ 又 ∴∽ 问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是) (2)，， ∴ 与的三组对应边的比不等，它们不相似. 问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：) 例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？ 注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是： ，3；或，；或，. 注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论. 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似. 3．三角形相似的判定的应用 例3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：. 证明：连接 ，. 在 ∴...