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相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析

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相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析 1.相似三角形的概念: 在 和中,如果,,,,我们就说和相似,记作∽,就是它们的相似比(注意:要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上). 思考:在 中,点是边的中点,,交于点, 与 有什么关系? 猜想: 与 相似. 证明:在 与 中, ∴,. 过点作,交于点 在中,, ,∴. 又 , ∴ ∴, ∴∽ (对应角相等,对应边的比相等的两三角形相似),相似比为. 改变点在上的位置,可以进一步猜想以上两个三角形依然相似. 2.相似三角形的判定 定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 小结:判定三角形相似的方法:(1)相似三角形的定义;(2)由平行线得相似. 思考:对比三角形全 等 判定的简 单 方 法(),看是否也有简便的方法? 已知:在 和中,. 求证: ∽. 证明:在线段(或它的延长线)上截取,过点作,交于点, 根据前面的结论可得 ∽. ∴ 又 , ∴ ∴ 同理: ∴≌ ∴∽ 相似三角形的判定定理:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:三边对应成比例,两三角形相似. 思考:若,,与是否相似呢? 相似三角形的判定定理:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似 可简单说成:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 进一步引申:若,,与是否相似呢? 不一定 问:全等中的边边角不能用,那么边边角也不能证相似,反例同全等. 例 1.根据下列条件,判断与是否相似,并说明理由: (1),,; ,,. (2),,; ,,. 解:(1), ∴ 又 ∴∽ 问:这两个相似三角形的相似比是多少?(答:是) (2),, ∴ 与的三组对应边的比不等,它们不相似. 问:要使两三角形相似,不改变的长,的长应当改为多少?(答:) 例2.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形相似? 注:此题没说2与哪条边是对应边,所以要进行分类讨论.可以是: ,3;或,;或,. 注:当两三角形相似而边不确定时,要注意分类讨论. 相似三角形的判定定理:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的,那么这两个三角形相似.简单说成:两角对应相等,两三角形相似. 3.三角形相似的判定的应用 例3.如图,弦和弦相交于内一点,求证:. 证明:连接 ,. 在 ∴...

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