矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案

习题1 解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。  1 xat ybtcos ,sin  2xt yt zt3sin ,4sin ,3cos 解：  1 ratibtjcossin，其图形是xOy平面上之椭圆。  2rtitjtk3sin4sin3cos，其 图 形 是平 面 430xy与 圆 柱 面2223xz之交线，为一椭圆。 2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点 M所描曲线的矢量方程。 解：设 M 点的矢径为OMrxiyj，AOC，CM 与 x 轴的夹角为2；因OMOCCM有 rxiyjaiajaiaj2 cos2 sincos 2sin 2 则.2sinsin2,2coscos2aayaax 故jaaiaar)2sinsin2()2coscos2( 4．求曲线3232,,tztytx的一个切向单位矢量 。 解：曲线的矢量方程为ktjttir3232 则其切向矢量为kttjidtdr222  模为24221441||tttdtdr 于是切向单位矢量为222122||/tkttjidtdrdtdr 6．求曲线xat yat zat2sin,sin 2 ,cos ,在 t4处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 rati atj atk2sinsin2cos 2 切向矢量为ratiatj atktdsin22 cos2sind 在t4处，traiakt4d2d2 7.求曲线ttztytx62,34,122 在对应于2t 的点M 处的切线方程和法平面方程。 解：由题意得),4,5,5(M曲线矢量方程为,)62()34()1(22kttjtitr 在2t的点M 处，切向矢量kjiktjtidtdrtt244])64(42[22 于是切线方程为142525,244545zyxzyx即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2zyx，即 01622zyx 8．求曲线rtit jt k23上的这样的点，使该点的切线平行于平面xyz24。 解：曲线切向矢量为dritjt kdt223 ， ⑴ 平面的法矢量为nijk2 ，由题知  itjt knikttj221432230 得t11,3 。将此依次代入⑴式，得kjikjitt2719131|,|311 故所求点为1 111,11 ,,,3 927 习题2 解答 1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。  1 uAxByCzD1; 3  2zuarcxy22sin 解： 1 场所在的空间区域是除AxByCzD0...