矩阵理论知识点整理

三、矩阵的若方标准型及分解  -矩阵及其标准型 定理 1  -矩阵  A可逆的充分必要条件是行列式  A是非零常数 引理 2  -矩阵  A= nmija的左上角元素 11a不为 0，并且  A中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与  A等价的   nmijbB使得 0b11且 11b的次数小于 11a的次数。 引理 3 任何非零的-矩阵 A= nmija等价于对角阵   0...0.....d21rdd   r21d,....d,d是 首 项 系 数 为1的 多 项 式 ， 且  1......3,2,,1,/d1ridii 引理 4 等价的 -矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子 推论 5  -矩阵的施密斯标准型是唯一的 由施密斯标准型可以得到行列式因子 推论 6 两个 -矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子 推论 7  -矩阵  A可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积 推论 8 两个  BAm与矩阵的 n等价当且仅当存在一个 m 阶的可逆 -矩阵  P和一个 n 阶的 -矩阵  Q使得       QAPB 推论 9 两个 -矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩 定理10 设 -矩阵 A等价于对角型 -矩阵    nhh.....21hB，若将 B的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按照重复的次数计算）就是 A的全部初等因子。 行列式因子不变因子初等因子 初等因子被不变因子唯一确定但，只要 -矩阵 A化为对角阵，再将次数大于等于1 的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为 A的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。 矩阵的若当标准型 定理1 两个nm阶数字矩阵A 和 B 相似，当且仅当它们的特征矩阵B-EA-E与等价 N阶数字矩阵的特征矩阵A-E的秩一定是n 因此它的不变因子有n个，且乘积是A 的特征多项式 推论 3 两个同阶矩阵相似，当且仅当它们有相同的行列式因子，或相同的...