矩阵的奇异值分解

§2 矩阵的奇异值分解 定义 设A 是秩为r的mn复矩阵，TA A 的特征值为 1210rrn  . 则称ii(1,2,, )in为A 的奇异值. 易见，零矩阵的奇异值都是零，矩阵A 的奇异值的个数等于A 的列数，A 的非零奇异值的个数等于其秩. 矩阵的奇异值具有如下性质： （1）A 为正规矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值的模； （2）A 为半正定的Hermite 矩阵时，A 的奇异值是A 的特征值； （3）若存在酉矩阵,m mn nUVCC，矩阵m nBC，使UAVB ，则称A 和B 酉等价.酉等价的矩阵A 和B 有相同的奇异值. 奇异值分解定理 设A是秩为r (0)r 的mn 复矩阵，则存在m 阶酉矩阵U 与n 阶酉矩阵V ，使得 HOU AVOO . ① 其中12diag(,,,)r ，i (1,2,, )ir为矩阵A 的全部非零奇异值. 证明 设Hermite 矩阵HA A的n 个特征值按大小排列为 1210rrn  . 则存在n 阶酉矩阵V ，使得 12HH()n OVA A VOO. ② 将V 分块为 12()VVV， 其中1V ，2V 分别是V 的前r列与后nr列. 并改写②式为 2HOA AVVOO. 则有 H2H112A AVVA AVO， . ③ 由③的第一式可得 HH2H1111() ()rV A AVAVAVE， 或者. 由③的第二式可得 H222() () AVAVOAVO或者. 令111UAV ，则H11rU UE ，即1U 的r 个列是两两正交的单位向量.记作112(,,,)rUu uu，因此可将12,,,ru uu 扩充成mC 的标准正交基，记增添的向量为1,,rmuu ，并构造矩阵21(,,)rmUuu，则 12121(,)(,,,,,,)rrmUU Uu uu uu 是m 阶酉矩阵,且有 HH1121 rU UEU UO，. 于是可得 HHH1121H2()()OUU AVUAVAVUOOOU，，. 由①式可得 HHHH11 1222rrrOAUVu vu vu vOO. ④ 称④式为矩阵A 的奇异值分解. 值得注意的是：在奇异值分解中121,,,,,,rrmu uu uu 是HAA 的特征向量，而V 的列向量是HA A的特征向量，并且HAA 与HA A的非零特征值 完全相同.但矩阵A 的奇异值分解不惟一. 证明2 设Hermite 矩阵HA A的n 个特征值按大小排列为 1210rrn  . 则存在n 阶酉矩阵V ，使得 12HH()n ...