矩阵行列式与可逆矩阵

1 矩阵行列式与可逆矩阵 一、n 阶矩阵行列式 下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材. 定义 2.9 对任一n 阶矩阵 A =nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 用式 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 表示一个与A 相联系的数，称为 A 的行列式，记作 A . 规定：当 n = 1 时，1111aaA； 当 n = 2 时，2112221122211211aaaaaaaaA； 当 n > 2 时，njjjnnAaAaAaAaA1111112121111， 其中jA1 =jj M11)1(，称jM1 为 A 中元素ja1 的余子式，它是 A 中划去第一行、第j 列后剩下的元素按原来顺序组成的 n – 1 阶行列式；jA1 为 A 中元素ja1 的代数余子式. （由定义可知，一个n 阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出. 应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.） 行列式的性质 性质 1 行列式与它的转置行列式相等，即 AA. 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号. 性质 3 n 阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 nkikik AaA1 （nkkjkj AaA1） 其中 i = 1, 2, „, n ( j = 1, 2, „, n) . 性质 4 n 阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即当ki 时，有 01njkjij Aa. 性质 5 行列式一行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面.即 2 n nnniniinn nnniniinaaaaaaaaaaaaaaaaaa212111211212111211 性质6 若行列式的某一行（列）元素都是两数之和： n nnnininiiiinaaabababaaaaA21221111211 则A 等于下列两个行列式之和： n nnniniinn nnniniinaaabbbaaaaaaaaaaaaA212111211212111211 性质7 用常数 遍乘行列式的某一行（列）的各元素，然后再加到另一行（列）对应的元素上，则行列式的值不变. （下面通过例题简单介绍行列式的计算方法） 例 1 计算 A2112123212230121313231...