离散数学期末考试试题及答案

离 散 数 学 试 题 (B 卷 答 案 1） 一、证明题（10 分） 1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∨(Q∨P))∧R ((P∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置换)R 2) x (A(x)B(x)) xA(x)xB(x) 证明 ：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10 分）。 证明：(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) （P∧(Q∨R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10 分） 1） C∨D， (C∨D) E， E(A∧B)， (A∧B)(R∨S) R∨S 证明：(1) (C∨D)E P (2) E(A∧B) P (3) (C∨D)(A∧B) T(1)(2)，I (4) (A∧B)(R∨S) P (5) (C∨D)(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x) Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明(1)xP(x) P (2)P(a) T(1)，ES (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) P (4)P(a)Q(y)∧R(a) T(3)，US (5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I (6)Q(y) T(5)，I (7)R(a) T(5)，I (8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I (9)x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG (10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I 四、某班有 25 名学生，其中 14 人会打篮球，12 人会打排球，6 人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有 2 人会打这三种球。而 6 个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数（10 分）。 解：A，B，C 分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。 先求|A∩B|。 6=|（A∪C）∩B|=|（A∩B）∪（B∩C）|=|（A∩B）|+|（B∩C）|-|A∩B∩C|=|（A∩B）|+5-2，∴|（A∩B）|=3。 于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数 25-20=5。 五、已知 A、B、C 是三个集合，证明 A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （10 分）。 证明： x A-（B∪C） x A∧x（B∪C）  x A∧（xB∧xC） （...