离 散 数 学 试 题 (B 卷 答 案 1) 一、证明题(10 分) 1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∨(Q∨P))∧R ((P∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置换)R 2) x (A(x)B(x)) xA(x)xB(x) 证明 :x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10 分)。 证明:(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10 分) 1) C∨D, (C∨D) E, E(A∧B), (A∧B)(R∨S) R∨S 证明:(1) (C∨D)E P (2) E(A∧B) P (3) (C∨D)(A∧B) T(1)(2),I (4) (A∧B)(R∨S) P (5) (C∨D)(R∨S) T(3)(4), I (6) C∨D P (7) R∨S T(5),I 2) x(P(x)Q(y)∧R(x)),xP(x) Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明(1)xP(x) P (2)P(a) T(1),ES (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) P (4)P(a)Q(y)∧R(a) T(3),US (5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I (6)Q(y) T(5),I (7)R(a) T(5),I (8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I (9)x(P(x)∧R(x)) T(8),EG (10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I 四、某班有 25 名学生,其中 14 人会打篮球,12 人会打排球,6 人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有 2 人会打这三种球。而 6 个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10 分)。 解:A,B,C 分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12,|B|=6,|C|=14,|A∩C|=6,|B∩C|=5,|A∩B∩C|=2。 先求|A∩B|。 6=|(A∪C)∩B|=|(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2,∴|(A∩B)|=3。 于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数 25-20=5。 五、已知 A、B、C 是三个集合,证明 A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (10 分)。 证明: x A-(B∪C) x A∧x(B∪C) x A∧(xB∧xC) (...