空间中的垂直关系 教师版1 空间中的垂直关系 专题训练 知识梳理 一、线线垂直： 如果两条直线 于一点或经过 后相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直. 二、线面垂直： 1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并 且和这个 平面内的_________________，则称这条直线和这个平 面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l 和平面 α互相垂直，记作 l⊥α. 2.判定定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直. 推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也 于这个平面. 推论②：如果两条直线 同一个平面，那么这两条直线平行. 3.点到平面的距离： 长度叫做点到平面的距离. 三、面面垂直： 1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面 ，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 ，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作 α⊥β. 2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直. 3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于 直线垂直于另一个平面. 四、求点面距离的常用方法： 1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形. 2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解. 3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解. 空间中的垂直关系 教师版2 题型一 线线垂直、线面垂直的判定及性质 例1.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 【变式 1】已知：正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1 的中点． （Ⅰ ） 求证：B1D1⊥AE； （Ⅱ ） 求证：AC∥平面B1DE． 【解答】（Ⅰ）连接 BD，则 BD∥B1D1， ABCD 是正方形，∴AC⊥ BD． CE⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴CE⊥BD． 又 AC∩CE=C，∴BD⊥面 ACE． AE⊂面 ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5 分） （Ⅱ）证明：取 BB1的中点 F，连接 AF、CF、EF． E、F 是 C1C、B1B 的中点， ∴ CE∥B1F 且 CE=B1F，∴ 四边形 B1FCE 是平行四边形，∴ CF∥ B1E． 正方形 BB1C1C中，E、F 是 CC、BB 的中点，∴ EF∥BC 且 EF=BC 又 BC∥AD 且 BC=AD，∴ E F∥AD 且 EF=AD．∴ 四边形 ADE...
