空间向量与立体几何专题

1 空 间 向 量 与立体几何专题 利用空间向量解决立体几何中位置关系平行，垂直，角度问题，距离问题（体积），探索性问题等。 1 .正 方 形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直，,/ /ADCD ABCD AB,2,4ADCD，点 M 是 EC 中点. （I）求证：BM∥平面 ADEF； （II）求BM 与平面 BDE 所成角的正弦值. 答案及解析： 1 . （1）设 N 为 DE 的中点，因为 M 是 EC 的中点，,21,//DCMNDCMN ,21,//CDABCDAB因此MNAB//，所以四边形 ABMN 是平行四边形，------4 分 ,// ANBM因为，平面ADEFBM ，平面ADEFAN .//ADEFBM平面--6 分 （2）因为点 M 是 EC 中点，所以221CDEDEMSS.， -------7 分 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直，BCEDADEDABCDED,平面 因为,,DEADCDAD，且DE 与CD 相交于 DCDEAD平面, ,//,//CDEABCDAB平面B 到面 DEM 的距离2AD ---------8 分 . 又CBEEDBCBDBCCDBDBC,4,22是直角三角形，则32DEBS---9 分 设 M 到面 DEM 的距离h， 23131hhSADSVVDEBDEMDEMBDEBM由.-----10 分 2 524212122ECBM，---11 分 所以BDEBM与平面所成角 的正弦值为51052sin BMh----12分 2 .如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,底面ABC⊥侧面AA1B1B, 01160 ,AA BP为CC1的中点,11ABA BO. (1)证明：AB1⊥平面A1OP. (2)若 M 是棱AC 上一点,且满足045MOP,求二面角1MBBA的余弦值. 答 案 及解析： 2 . 解：(1)取 的中点 ，连接 ，易证 为平行四边形，从而 . 由底面 侧面 ，底面 侧面 ， ， 底面，所以侧面 ，即 侧面 ， 又 侧面 ，所以 ，又侧面 为菱形，所以 ， 从而 平面 ，因为 平面 ，所以 . (2)由(1)知，， ， ， 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 因为侧面 是边长为2 的菱形，且 ， 所以 ，，， ，，， 得 .设 ，得 ， 所以 ，所以 . 3 而 . 所以 ，解得 . 所以 ， ， . 设平面 的法向量 ，由 得 ， 取 .而侧面 的一个法向量. 设二面角 的大小为 . 则 3 .如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ，3 BCAB， 点 E、F分别在 线段 AB 和 AC 上， 且BCEF //， 将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置， 使得二面角BEFP的大小...