空间向量及其应用VIP专享

第六节 空间向量及其应用 考纲解读 1.空间向量及其运算. （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； （3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用. （1）理解直线的方向向量与平面的法向量； （2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系； （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； （4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 命题趋势探究 立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.预测在 2015 年高考对本专题的考查会在解答题中以中档题出现，分值保持在 12 分左右. 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A ，终点是B ，则向量a也可以记作AB ，其模记为a或AB . 2.零向量与单位向量 规 定长度为0 的向量叫做零向量，记作0 .当 有向线段的起点A 与终点B 重 合 时 ，0AB . 模为1 的向量称 为单位向量. 3.相 等 向量与相 反 向量 方向相 同 且模相 等 的向量称 为相 等 向量.在空间，同 向且等 长的有向线段表示同 一向量或相 等 向量.空间任 意两 个 向量都 可以平移 到 同 一个 平面，成 为同 一平面内 的两 个 向量. 与向量a长度相 等 而方向相 反 的向量，称 为a的相 反 向量，记为a. 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OCOAOBa b，BAOAOBa b.如 图 8-152 所 示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 abba，abcabc 二、空间向量的数乘运算 1．数乘运算 实数 与空间向量a 的乘积a称为向量的数乘运算.当0 时，a与向量a 方向相同；当0 时，向量a与向量a 方向相反. a的长度是a 的长度的 倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 abab，...