1．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M 在线段PB 上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M 为PB 的中点； （2）求二面角 B﹣PD﹣A 的大小； （3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． 【分析】（1）设 AC∩BD=O，则 O 为BD 的中点，连接 OM，利用线面平行的性质证明 OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得 M 为PB 的中点； （2）取 AD 中点G，可得 PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得 PG⊥平面ABCD，则 PG⊥AD，连接 OG，则 PG⊥OG，再证明 OG⊥AD．以 G 为坐标原点，分别以GD、GO、GP 所在直线为x、y、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A 的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设 AC∩BD=O， ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，连接 OM， PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即 M 为PB 的中点； （2）解：取 AD 中点G， PA=PD，∴PG⊥AD， 平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD ， ∴PG⊥平面ABCD，则 PG⊥AD，连接 OG，则 PG⊥OG， 由 G 是 AD 的中点，O 是 AC 的中点，可得 OG∥DC，则 OG⊥AD． 以 G 为坐标原点，分别以 GD、GO、GP 所在直线为x、y、z 轴距离空间直角坐标系， 由 PA=PD=，AB=4，得 D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，． 设平面PBD 的一个法向量为， 则由，得，取z=，得． 取平面PAD 的一个法向量为． ∴cos＜＞==． ∴二面角B﹣PD﹣A 的大小为60°； （3）解：，平面BDP 的一个法向量为． ∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos ＜＞|=||=||=． 【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题． 2．如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N 分别为棱PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N 的正弦值； （Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为，求线段AH 的长． 【分析】（Ⅰ）取AB 中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平...
