第1章部分习题解答(理论力学金尚年第二版)

1 .2 写出约束在铅直平面内的光滑摆线 上运动的质点的微分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关. 解： 设 s 为质点沿摆线运动时的路程，取 =0 时，s=0 S== 4 a (1) 设 为质点所在摆线位置处切线方向与 x 轴的夹角，取逆时针为正，即切线斜率 = 受力分析得： X Y 则 ，此即为质点的运动微分方程。 该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为. 1.3 证明：设一质量为m 的小球做任一角度0 的单摆运动 运动微分方程为Frrm)2( sinmgmr  给式两边同时乘以 d dgdrsin 对上式两边关于积分得 cgrcos212  利用初始条件0 时0故0cosgc  由可解得 0coscos2-•lg 上式可化为dtdlg•0coscos2- 两边同时积分可得dgldglt020222002sin12sin10012coscos12 进一步化简可得dglt0002222sinsin121 由于上面算的过程只占整个周期的1/4 故 002022sin2sin124Tdglt 由sin2sin/2sin0  两边分别对  微分可得ddcos2sin2cos0 202sin2sin12cos 故dd2020sin2sin1cos2sin2 由于00 故对应的 20  故dgldglT202020002cos2sinsin2sin1/cos2sin42sin2sin20 故 2022 sin14KdglT其中2sin022K 通过进一步计算可得 gl2T ])2642)12(531()4231()21(1[224222nKnnKK 1.5 解： 如图，在半径是R 的时候，由万有引力公式， 对表面的一点的万有引力为 , ① M 为地球的质量； 可知，地球表面的重力加速度 g , x 为取地心到无限远的广义坐标， ，② 联立①， ②可得： ,M 为地球的质量；③ 当半径增加 ,R2=R+ ,此时总质量不变，仍为M, 此时表面的重力加速度 可求： ④ x y z p 点 B eө et ө y 由④得： ⑤ 则，半径变化后的 g 的变化为 ⑥ 对⑥式进行通分、整理后得： ⑦ 对⑦式整理，略去二阶量，同时远小于 R，得 ⑧ 则当半径改变 时，表面的重力加速度的变化为： 。 1 .6 解：由题意可建立如图所示的平面极坐标系 则由牛顿第二定律可知， 质点的运动方程为 ...