初等数论教案 - 69 - 第五章 二次同余式与平方剩余 本章的目的是较深入地讨论二次同余式。讨论方法是把问题归结到讨论形如)( m od2max 的同余式，进而引入平方剩余和平方非剩余的概念，再应用数论中常用的函数(勒让德符号及雅可比符号)去讨论m 是单质数的情形，进而讨论一般的情形。最后还应用本章结果解决两个不定方程的问题，并介绍一下与它们有关的著名的华林问题。 教学内容: 1.一般二次同余式 教学目的: 了解一般二次同余式及平方剩余，平方非剩余的概念： 教学重难点: 平方剩余的概念 教学过程: 本节主要讨论二次同余式，讨论方法是把问题归结到讨论形如)(mod2max 的同余式，进而引入平方剩余和平方非剩余的概念，再应用数论中常用的函数讨论m 是单质数的情形，进而讨论一般的情形： 一． 基本概念： 首先：二次同余式的一般形式：)(mod0),(mod02mamcbxax（1） 用 4a 乘（1）式再加上2b 得：acbbaxamacbbabxxa4)2()4(mod444222222即 若令acbDbaxy4,22 则上式变为)4(mod2amDy （2） 具体分析过程见书上 P74: 由同于是的性质可知（2）与（1）式同时有解或同时误解：故讨论（1）式有解的问题可以转为讨论（2）式有解的问题：为了讨论（2）式是否有解，我们引入平方剩余和平方非剩余的概念： 定义：假设（a,m）=1，如果同余式)(mod2max 有解，则 a 叫做模 m 的平方剩余，否则叫做模 m 的平方非剩余： 例：)7(mod2ax 根据同余式解的形式：他的接有 0，1，2，3，4，5，6 这 7 中可能，而a 有 1，2，3，4，5，6 这六种可能，严整可知 当 a 取 1，2，4 是有解，当 a 取 3，5，6 时误解， 故 1，2，4 为模 7 的平方剩余，而 3，5，6 为模 7 的平方非剩余： 教学内容: 2.单质数的平方剩余与平方非剩余 教学目的: 了解单质数的平方剩余，平方非剩余的基本性质及判别方法： 教学重难点: 平方剩余，平方非剩余的判别 教学过程: 初等数论教案 - 70 - 这节我们讨论单质数p的平方剩余，平方非剩余： 一． 判别方法： 定理1：（欧拉判别条件）：若（a,p）=1，则a 是模p的平方剩余的充要条件是： )(mod121pap：而a 是模p的平方非剩余的充要条件是：)(mod121pap 证明：见书上P76： 由此定理我们就可以判别单质数p的平方剩余，平方非剩余： 二．基本性质： 定理2：模p 的平方剩余和平方非剩余各为21p，而且2...
