第 4 章 根 轨 迹 法 根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。 4 .1 根轨迹的基本概念 4 .1 .1 根轨迹概念 所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在 s平面上变化的轨迹。 例如某控制系统的结构图如图 4.1 所示。 图 4 .1 控制系统 其开环传递函数为 ( )K(0.51)KGsss=+ 其闭环传递函数为 22( )22KsssKΦ=++ 式中： K 为系统开环增益。 于是闭环特征方程可写为 2220ssk++= 对上式求解得闭环特征根为 1,2112sK= − ±− 令开环增益 K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在 s平面上，并连成光滑的粗实线，如图 4.2 所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。箭头表示随 K 值增加根轨迹的变化趋势。这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。 画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。通过第 3 章的学习知道，系统第 4 章 根轨迹法 ·101 · ·101 · 特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。 图 4 .2 控制系统根轨迹 4 .1 .2 根轨迹方程 对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。 下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。 设控制系统如图 4.3 所示，其闭环传递函数为 ( )( )1( )( )G ssG s H sΦ=+ (4.1) 式中，( )( )( )KG s H sGs=为系统开环传递函数。 图 4 .3 控制系统 故系统的特征方程为 K1( )0Gs+= (4.2) 设系统开环传递函数的一般形式为 *11K11(1)()( )(1)()mmiiiinnjjjjsszGsKKT sspτ====++==++∏∏∏∏ (4.3) 自动控制原理 ·102· ·102· *11miinjjzKKp===∏∏ (4.4) 式中 K ——系统开环增益； *K —...
