自招竞赛 数学讲义 轮换对称式的最值问题 学 生 姓 名 授 课 日 期 教 师 姓 名 授 课 时 长 知识定位 在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。 本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。 知识梳理 1. 不等式对称和轮换对称式的定义 在一个不等式中,若把其中任何两个字母,,1,2 ,...,ija ai jnij且对调位置后,这个不等式不变(如①32abcbccaab,其中, ,0a b c ), 我们便称此不等式是关于12,,...,na aa 对称的。如果把不等式中的字母12,,...,na aa 按一定顺序依次轮换（如1a换成2a ，2a 换成3a ，...，1na 换成na ）后不等式不变（如②2222220 ,, ,0caabbca b cbccaab其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,na aa 轮换对称的。 2. 对称式与轮换对称不等式的性质 由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。 关于12,,...,na aa 对称的不等式，由于,ija a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,na aa 的大小顺序（如在① 中 可 设 abc）， 而 关 于12,,...,na aa 是 轮 换 对 称 的 不 等 式 则 不 能 任 意 排 列 其 字 母 的 大小 顺 序 ， 而 只 能 做 较 弱 的 排 列 ， 如1naa，2naa， ...，1nnaa ， 即 某 一 个 是 其中 的 最 大 或 最 小 （ 如 ② 中 可 设 ac， ab）， 因 为 我 们 总 可 以 通 过 轮 换 把 某 个 字 母 调整 到 最 小 或 最 大 的 位 置 。 3. 取 得 最 值 的 判 定 暑 期 讲 义 轮 换 对 称 式 一 讲 中 我 们 提 到 ， 轮 换 对 称 式 取 到 最 值 时 往 往 各 地 位 轮 换 对 称 的 变量 取 值 相 等 。 在 这 种 情 况 下 我 们 可 以 简 化 问 题 为 先 判 断 最 值 和 取...
