相关函数 1.自相关函数 自相关函数是信号在时域中特性的平均度量,它用来描述信号在一个时刻的取值与 另一时刻取值的依赖关系,其定义式为 (2.4.6) 对于周期信号,积分平均时间T 为信号周期。对于有限时间内的信号,例如单个脉 冲,当T 趋于无穷大时,该平均值将趋于零,这时自相关函数可用下式计算 (2.4.7) 自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值,它是时移变量τ 的函 数。 例如信号的自相关函数为 若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成,即 ,则 对于正弦信号,由于,其自相关函数仍为 由此可见,正弦(余弦)信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号 的频率成分,其频率不变,幅值等于原幅值平方的一半,即等于该频率分量的平均功率 ,但丢失了相角的信息。 自相关函数具有如下主要性质: (1)自相关函数为偶函数,,其图形对称于纵轴。因此,不论时移 方向是导前还是滞后(τ 为正或负),函数值不变。 (2)当 τ=0 时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值,即 (2.4.8) (3)周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。 (4)若随机信号不含周期成分,当 τ 趋于无穷大时,趋于信号平均值的平方 ,即 (2.4.9) 实际工程应用中,常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程 度,定义式为 (2.4.10) 当τ=0 时,=1,说明相关程度最大;当τ=∞时,,说明信号 x(t)与 x(t+τ)之间彼此无关。由于,所以。值的大小表示信号相 关性的强弱。 自相关函数的性质可用图 2.4.3 表示。 图 2.4.3 自相关函数的性质 常见四种典型信号的自相关函数如图 2.4.4 所示,自相关函数的典型应用包括: (1)检测信号回声(反射)。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声,那么该 信号的自相关函数将在处也达到峰值(另一峰值在处),这样可根据确定 反射体的位置,同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。 时间历程 自相关函数图形 正弦波 正弦波加随机噪声 窄带随机噪声 宽带随机噪声 图2.4.4 四种典型信号的自相关函数 (2)检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性 的,而随机噪声信号随着延迟增加,它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后 ,被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息,而排除了随机信号的干扰。 图2.4.5 所示为噪声对相关函数的影响...