自相关与互相关函数

相关函数 １．自相关函数 自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与 另一时刻取值的依赖关系，其定义式为 （2.4.6） 对于周期信号，积分平均时间T 为信号周期。对于有限时间内的信号，例如单个脉 冲，当T 趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算 （2.4.7） 自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ 的函 数。 例如信号的自相关函数为 若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即 ，则 对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为 由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。它保留了原信号 的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率 ，但丢失了相角的信息。 自相关函数具有如下主要性质： （1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。因此，不论时移 方向是导前还是滞后（τ 为正或负），函数值不变。 （2）当 τ＝0 时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即 （2.4.8） （3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。 （4）若随机信号不含周期成分，当 τ 趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方 ，即 （2.4.9） 实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程 度，定义式为 （2.4.10） 当τ＝0 时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号 x(t)与 x(t+τ)之间彼此无关。由于，所以。值的大小表示信号相 关性的强弱。 自相关函数的性质可用图 2.4.3 表示。 图 2.4.3 自相关函数的性质 常见四种典型信号的自相关函数如图 2.4.4 所示，自相关函数的典型应用包括： （1）检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该 信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定 反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。 时间历程 自相关函数图形 正弦波 正弦波加随机噪声 窄带随机噪声 宽带随机噪声 图2.4.4 四种典型信号的自相关函数 （2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性 的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后 ，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。 图2.4.5 所示为噪声对相关函数的影响...