-=KQsin!0王峰南通市启秀中学物理学科江苏南通 226006）在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“E-r”和“p-r”的关系曲线图，供大家参考。本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境中，即相对介电常数£0 二 1；对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即U^=0。1、带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。电场分布：1.1.1 内部（r〈R）：如图（1）所示，在均匀带电金属球（壳）内的任意点 P 处，均有通过直径相似对称的两个带电球冠面S］和S2，当两条线夹角0 很小时，S］和S2可以近似看作两个带电圆面，且S］和S2两个面的尺寸相对它们距离 P 点距离很小，这样 S］和S2两个带电面就可以近似处理为点电荷，它们在 P点各自产生电场强度E1p 与 E2P，计算如下所示：设球体带电总量为Q，且均匀分别在导体球外表面上且E1p 与E2p等大反向・•・Ep=0，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。图x21.1.2 外部（r〉R）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P 点的电场强度,可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面ds，将每个单元面上电荷在P 点产生的电场dE 进行叠加，求出P 点的合场强Ep。由于球面上单元面ds 的对称性特点，可知P 点的上述求电场强度EP 的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重积分的方法；即先要对ds 和 ds'所在球面上的带电圆环进行0T2 兀的环积分，对求出的环形电场再进行沿直径方向的0T 兀的积分，最终求出带电球体在P 点的合场强EP。积分过程如下：如图（2）所示，设 OA=R,OP=r,AP=x，球表面电荷的面密度为Q=4 兀 R2,ods 八AEQ=Kcos0P2x取球面极坐标，则ds=Rdq・Rsin申 d 屮，其中p 为沿直径方向的从 0T 兀积分角,屮为带电圆环的从 0T2兀的还积分。EP=JJAEp=笛 K° R 认 P d P d 屮 cose00由AOA...
