2025年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答方程与函数

第十二讲 方程与函数 方程思想是指在处理问题时，通过等量关系将已知与未知联络起来，建立方程或方程组 ，然后运用方程知识使问题得以处理措施；函数描述了自然界中量与量之间依存关系，函数思想实质是剔除问题非本质特性，用联络和变化观点研究问题．转化为函数关系去处理． 方程与函数联络亲密，咱们可以用方程思想处理函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中待定系数、函数图象与坐标轴交点、函数图象交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组解个数、解分布状况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷解答．【例题求解】【例 1】 若有关方程有解，则实数 m 取值范围 ． 思绪点拨 可以运用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数，函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定 m 取值范围．【例 2】设有关方程有两个不相等实数根， ，且<1<，那么取值范围是( ) A． B． C． D． 思绪点拨 因根体现式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来处理，即求对应二次函数与轴交点满足<1<值，注意鉴别式隐含制约． 【例 3】 已知抛物线 ()与轴交于两点 A(，0)，B(，0)( ≠)． (1)求取值范围，并证明 A、B 两点都在原点 O 左侧； (2)若抛物线与轴交于点 C，且 OA+OB＝OC 一 2，求值． 思绪点拨 、是方程两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以处理，运用鉴别式，根与系数关系是解题切入点．【例 4】 抛物线与轴正半轴交于点 C，与轴交于 A、B 两点，并且点 B 在 A 右边，△ABC 面积是△OAC 面积 3 倍． (1)求这条抛物线解析式； (2)判断△OBC 与△OCA 与否相似，并阐明理由． 思绪点拨 综合运用鉴别式、根与系数关系等知识，可鉴定对应方程根符号特性、两实根关系，这是解本例关键．对于(1)，建立有关 m 等式，求出 m 值；对于(2)依 m 值分类讨论．【例 5】 已知抛物线上有一点 M(，)位于轴下方． (1)求证：此抛物线与轴交于两点； (2)设此抛物线与轴交点为 A(，0)，B(，0)，且 <，求证： <<． 思绪点拨 对于(1)，即要证；对于(2)，即要证． 注：(1)抛物线与轴交点问题常转化为二次方程根个数、根符号特性、根关系来探讨，需综合运用鉴别式、韦达定理等知识． (2)对较复杂二次方程实根分布问题，常转化为用函数观点来讨论，基本环节是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象...