2025年数学分析试题库证明题答案

数学分析题库（1—22 章)五．证明题1．设 A，B 为 R 中的非空数集，且满足下述条件：（1)对任何有；（2）对任何,存在，使得。证明：证 由 (1) 可 得. 为 了 证, 用 反 证 法 。 若， 设，使得。2.设 A，B 是非空数集，记,证明：（1）；（2）证（1）若 A，B 中有一集合无上界，不妨设 A 无上界,则 S 也是无上界数集,于是，结论成立。若 A，B 都是有上界数集，且，现设法证明（ⅰ），无论或,有（ⅱ）于是同理可证（2）.3。 按定义证明证 ≤ （n>4），取，当 n>N 时,〈 。注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的措施.这里先限定 n>4，扩大之后的分式仍是无穷小数列。4.怎样用 ε-N 措施给出的正面陈说？并验证｜｜和||是发散数列。答 的正面陈说:〉0，，≥N，使得｜｜≥数列{}发散,.（ 1 ），=，， 只 要 取， 便 可 使≥≥≥，于是{｝为发散数列。（2）. 若 a=1，=1，取为任何奇数时，有>。若 a=-1,=1，取为任何偶数时，有>。 若 a≠1，=，对任何 n，有|｜≥。 故｜｜为发散数列.5。用措施验证:。解 (1)消去分式分子、分母中当时的零化因子（x—1）:。（2)把化为，其中为 x 的分式:，其中。（3)确定的邻域 0〈｜x—1|<，并估计在此邻域内的上界:取，当 0<|x—1｜<时，可得≤，，于是.（4)要使≤，只要取.于是应取，当 0〈｜x—1｜〈时，.6 用措施验证：。解 注意到当时,上式可以充足小，不过直接解不等式，但愿由此得到 x〈—M，整个过程相称繁复，现用放大法简化求 M 的过程。由于由，便可求得，考虑到所需要的是.于是，当 x〈-M 时，.7 设，在某邻域内，又证明。 （1）解 由，时,。又由于,故对上述（不妨取），当时，.由此可得：当时，即.注 称 （ 1 ） 为 复 合 求 极 限 法 ， （ 1 ） 不 仅 对型 的 极 限 成 立 ， 且 对 于都成立.8。设在点的邻域内有定义。试证：若对任何满足下述条件的数列,，,， （2）均有,则.分析 由归结原则可知:上述结论不仅是充足的，并且是必要的。本题可看作函数极限归结原则的加强形式,即子列只要满足（2）的加强条件就可以了。注意下面证明中选子列的措施.证 用反证法。若,则， 使 得。 取，, 使 得. 取，，使得；…………取，， 使 得与相 矛 盾 。 因 此成立.9。 证明函数在处持续,不过在处不持续。证 时，由于，于是，即在 x=0 处持续。时，，在中取为有理数,取为无理数，于是。由函数...