2025年数学选修知识点及习题

第一章 记录案例1．线性回归方程① 变量之间的两类关系：函数关系与有关关系；② 制作散点图，判断线性有关关系③ 线性回归方程：y¿=bx+a（最小二乘法） 注意：线性回归直线通过定点(x , y )。2．有关系数（判定两个变量线性有关性）：r=∑i=1n(xi−x)( yi−y)√∑i=1n(xi−x)2∑i=1n( yi−y )2注：⑴>0 时，变量x , y 正有关； <0 时，变量x , y 负有关；⑵① 越靠近于 1，两个变量的线性有关性越强；② 靠近于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性有关关系。3．回归分析中回归效果的判定：⑴ 总偏差平方和：∑i=1n( yi− y)2； ⑵残差：ei¿= yi−yi¿；⑶残差平方和：∑i=1n( yi−yi¿)2 ；⑷ 回归平方和：∑i=1n( yi− y)2－∑i=1n( yi−yi¿)2；⑸有关指数R2=1−∑i=1n( yi−yi)2¿∑i=1n( yi−yi)2 。注：①得知越大，阐明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；② 越靠近于 1，，则回归效果越好。4．独立性检查（分类变量关系）：随机变量越大，阐明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。第二章 推理与证明一．推理：⑴ 合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已经有事实，通过观测、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。① 归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。② 类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。⑵ 演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊状况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊状况；⑶结 论---------根据一般原理，对特殊状况得出的判断。二．证明⒈ 直接证明⑴ 综合法一般地，运用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，通过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立，这种证明措施叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。⑵ 分析法一般地，从要证明的结论出发，逐渐寻求使它成立的充足条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一种明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公...