2025年数列与数学归纳法专题

上海市久隆模范中学 石英丽经典例题【例 1】已知数列{an}的前项和为，且Sn=n−5an−85,n∈N¿.（1）证明：{an−1}是等比数列；（2）求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整数.解：(1) 当n=1时，a1=−14 ；当n≥2时，an=Sn−Sn−1=−5an+5an−1+1，因此an−1=56 (an−1−1).又a1−1=−15≠0 ，因此数列{an−1}是以－15 为首项，56 为公比的等比数列.(2) 由(1)知：an−1=−15(56)n−1，得an=1−(56)n−1从而Sn=75(56)n−1+n−90,n∈ N¿；由Sn+1>Sn得(56)n−1< 225 ，n>log 56225 +1≈14.9 ，最小正整数n=15.【例 2】 等差数列{an}的前项和为Sn ,a1=1+√2,S3=9+3√2．（1）求数列的通项与前项和；（2）设，求证：数列中任意不一样的三项都不也许成为等比数列．解：（1）由已知得，，故．（2）由（Ⅰ）得．假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．即．，．与矛盾．因此数列中任意不一样的三项都不也许成等比数列．【例 3】已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项为 a(a∈ R),设数列的前 n 项和为Sn ,且 1a1, 1a2, 1a4 成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式及；（2）记An= 1S1+ 1S2+⋯+ 1Sn, Bn= 1a1+ 1a2+ 1a22+⋯+ 1a2n ，当n≥2时，试比较与的大小．解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，由(1a2)2= 1a1⋅ 1a4 ，得(a1+d )2=a1( a1+3d ).由于d≠0，因此d=a 因此an=na1,Sn=an (n+1)2.（2）由于1Sn=2a(1n− 1n+1)，因此An= 1S1+ 1S2+⋯+ 1Sn=2a (1− 1n+1 ).由于a2n−1=2n−1a，因此Bn= 1a1+ 1a2+ 1a22+⋯+1a2n−1=1a⋅1−(12)n1−12=2a(1− 12n).当n≥2时,2n=Cn0+Cn1+⋯+Cnn>n+1，即1− 1n+1 <1− 12n .因此，当a>0A时nBn .【例 4】已知a1=2 ，点(an,an+1)在函数f (x )=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列{lg (1+an)}是等比数列；（2）设T n=(1+a1)(1+a2)⋯(1+an)，求及数列{an}的通项；（3）记bn= 1an+1an+2 ，求数列{bn}的前项和 Sn，并证明Sn+23T n−1 =1.解：（1）由已知，，两边取对数得，即是公比为 2 的等比数列.（2）由（Ⅰ）知（*）=由（*）式得（3） an+1=an2+2an.又..又.【例 5】已知数列{an}满足a1=0,a2=2 ，且对任意m,n∈ N¿均有a2m−1+a2n−1=2am+n−1+2(m−n)2.（1）求a3,a5；（2）设bn=a2n+1−a2n−1(n∈N¿)，证明：{bn}是等差数列；（3）设cn=(an+1−an)qn−1, (q≠0,n∈ N¿)，求数列{c...