电脑桌面
添加小米粒文库到电脑桌面
安装后可以在桌面快捷访问

2025年数列与数学归纳法专题

2025年数列与数学归纳法专题_第1页
1/6
2025年数列与数学归纳法专题_第2页
2/6
2025年数列与数学归纳法专题_第3页
3/6
上海市久隆模范中学 石英丽经典例题【例 1】已知数列{an}的前项和为,且Sn=n−5an−85,n∈N¿.(1)证明:{an−1}是等比数列;(2)求数列{Sn}的通项公式,并求出使得Sn+1>Sn成立的最小正整数.解:(1) 当n=1时,a1=−14 ;当n≥2时,an=Sn−Sn−1=−5an+5an−1+1,因此an−1=56 (an−1−1).又a1−1=−15≠0 ,因此数列{an−1}是以-15 为首项,56 为公比的等比数列.(2) 由(1)知:an−1=−15(56)n−1,得an=1−(56)n−1从而Sn=75(56)n−1+n−90,n∈ N¿;由Sn+1>Sn得(56)n−1< 225 ,n>log 56225 +1≈14.9 ,最小正整数n=15.【例 2】 等差数列{an}的前项和为Sn ,a1=1+√2,S3=9+3√2.(1)求数列的通项与前项和;(2)设,求证:数列中任意不一样的三项都不也许成为等比数列.解:(1)由已知得,,故.(2)由(Ⅰ)得.假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列,则.即.,.与矛盾.因此数列中任意不一样的三项都不也许成等比数列.【例 3】已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项为 a(a∈ R),设数列的前 n 项和为Sn ,且 1a1, 1a2, 1a4 成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式及;(2)记An= 1S1+ 1S2+⋯+ 1Sn, Bn= 1a1+ 1a2+ 1a22+⋯+ 1a2n ,当n≥2时,试比较与的大小.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由(1a2)2= 1a1⋅ 1a4 ,得(a1+d )2=a1( a1+3d ).由于d≠0,因此d=a 因此an=na1,Sn=an (n+1)2.(2)由于1Sn=2a(1n− 1n+1),因此An= 1S1+ 1S2+⋯+ 1Sn=2a (1− 1n+1 ).由于a2n−1=2n−1a,因此Bn= 1a1+ 1a2+ 1a22+⋯+1a2n−1=1a⋅1−(12)n1−12=2a(1− 12n).当n≥2时,2n=Cn0+Cn1+⋯+Cnn>n+1,即1− 1n+1 <1− 12n .因此,当a>0A时nBn .【例 4】已知a1=2 ,点(an,an+1)在函数f (x )=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,…(1)证明数列{lg (1+an)}是等比数列;(2)设T n=(1+a1)(1+a2)⋯(1+an),求及数列{an}的通项;(3)记bn= 1an+1an+2 ,求数列{bn}的前项和 Sn,并证明Sn+23T n−1 =1.解:(1)由已知,,两边取对数得,即是公比为 2 的等比数列.(2)由(Ⅰ)知(*)=由(*)式得(3) an+1=an2+2an.又..又.【例 5】已知数列{an}满足a1=0,a2=2 ,且对任意m,n∈ N¿均有a2m−1+a2n−1=2am+n−1+2(m−n)2.(1)求a3,a5;(2)设bn=a2n+1−a2n−1(n∈N¿),证明:{bn}是等差数列;(3)设cn=(an+1−an)qn−1, (q≠0,n∈ N¿),求数列{c...

1、当您付费下载文档后,您只拥有了使用权限,并不意味着购买了版权,文档只能用于自身使用,不得用于其他商业用途(如 [转卖]进行直接盈利或[编辑后售卖]进行间接盈利)。
2、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。
3、如文档内容存在违规,或者侵犯商业秘密、侵犯著作权等,请点击“违规举报”。

碎片内容

2025年数列与数学归纳法专题

您可能关注的文档

确认删除?
VIP
微信客服
  • 扫码咨询
会员Q群
  • 会员专属群点击这里加入QQ群
客服邮箱
回到顶部