2025年数学归纳法与数列极限复习

课 题数学归纳法与数列极限、等比数列的各项和教学目的1、 理解数列极限的概念，掌握极限的四则运算，会求数列极限；2、 掌握数学归纳法的环节，并会用数学归纳法证明对应的命题；3、 会求等比数列的各项和。教学内容数学归纳法一．知识点梳理：数学归纳法：数学归纳法是一种证明与正整数 n 有关的数学命题的重要措施.1.用数学归纳法证明命题的环节为:① 验证当 n 取第一种值时命题成立,这是推理的基础;② 假设当 n=k(k ∈N¿,k≥n0)时命题成立.在此假设下,证明当n=k+1时命题也成立是推理的根据;结论.2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观测归纳猜想推理论证.3.尤其注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证n=n0 时成立,注意不一定为 1;(2)在第二步中,关键是要对的合理地运用归纳假设,尤其要弄清由 k 到 k+1 时命题的变化二. 经典例题：【例 1】在数列{an}中，a1=1，当 n≥2 时，an,Sn,Sn－12 成等比数列(1)求 a2,a3,a4，并推出 an的体现式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和命题意图本题考察了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识知识依托等比数列的性质及数学归纳法的一般环节采用的措施是归纳、猜想、证明错解分析(2)中，Sk=－12k−3 应舍去，这一点往往容易被忽视技巧与措施求通项可证明{1Sn }是以{1S1 }为首项，12 为公差的等差数列，进而求得通项公式解 an,Sn,Sn－12 成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－12 )(n≥2) (*)(1)由 a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－23由 a1=1，a2=－23 ,S3=13 +a3代入(*)式得 a3=－215同理可得 a4=－235 ,由此可推出 an={1 (n=1)¿¿¿¿(2)① 当 n=1,2,3,4 时，由(*)知猜想成立② 假设 n=k(k≥2)时，ak=－2(2k−3)(2k−1)成立故 Sk2=－2(2k−3)(2k−1) ·(Sk－12 )(2∴k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk=12k−1 ,Sk=−12k−3 (舍)由 Sk+12=ak+1·(Sk+1－12 ),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－12 )⇒1(2k−1)2 +ak+12+2ak+12k−1 =ak+12+ak+12k−1 −12 ak+1⇒ak+1=−2[2(k+1)−3][2(k+1)−1] ,n即 =k+1命题也成立.由①②知，an={1(n=1)¿¿¿¿对一切 n∈N 成立(3)由(2)得数列前 n 项和 Sn=12n−1 ,∴S=limn→∞ Sn=0练习：1.用数学归纳法证明>n2(n∈N,n5),则第一步应验证 n=;2.用数学归纳法证明:时,第一步验证不等式成立；在证明过程的第二步从 n=k 到 n=k+1 成立时,左边增长的项数是. 3、用数学归...