定积分的求解方法及其应用 应用数学专业

定积分的求解方法及其应用杨洋摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义 1 不妨设在闭区间[,]中，不包含两个端点，共有个点,按照大小分别为x0x1x2…,这些点将闭区间[,]分割为大小不一的子区间，共有个，用Δi 表示这些子区间，即Δi=[xi−1,xi],i =1,2, …,。可以将点或子区间视为分割了闭区间[,]，令集合{x0 ,x1,…,}或{Δ1,Δ2,…,}.定义 2 假设函数的定义域为 [,]。将区间[,]分割为个，得分割区间的集合{Δ1,Δ2,…,}，在区间Δi上随意取点ψi ，即ψi ∈Δi,i =1,2, …,，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得，该式是函数g 在定义域[,]上的积分和.定义 3 假设函数的定义域为 [,]，是给定的实数。假如总能找到某个的正数，以及任何正数，在定义域 [,]进行任意大小的分割，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{}，当<时，存在 |∑i=1ng(φi)Δx i−S|<σ，则函数在定义域[m ,n ]上可积，即S=∫mng(x)dx。为函数在定义域上的定积分，x 是积分变量，g为被积函数，[m ,n ]称为积分区间，m 、n 是该定积分的下限和上限。1.2 定积分的求法1.2.1 运用定义求定积分先用定义法进行解题，分为三步进行解答：把定义域[a ,b ]分割为n 个子区间，进而得到分割T ；列出式子∑i=1nf (ξi)Δxi；取极限∫abf (x)dx= lim‖T‖→0∑i=1nf (ξi)Δxi.例 1 计算定积分∫01x2dx .解 （1）分割： 将[0,1]等分为n 块，T =¿¿…,1¿¿ （2）近似求和 令ξi =in ,∑i=1nf (ξi)Δxi=∑i=1n¿ i2n2⋅1n =1n3⋅∑i=1ni2=1n3⋅16 n(n+1)(2n+1)（3）取极限 ∫01x2dx= lim‖T‖→0∑i=1nf (ξi)Δxi=limn→∞1n3⋅16 n(n+1)(2n+1)=13 解析 上题中使用定义法进行解题，通过三步法，进而求出积分和的极限来计算定积分,具体过程繁琐，而...