典例剖析(第二章 函数)[例 1]如图 2-30,某房地产开发公司要在荒地 ABCDE 上划分一块长方形地面(不改变方位)建造一幢公寓.问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(精确到 1m2).【解】 设公寓占地矩形的长和宽分别为 a、b,面积为 S (70≤a≤100,60≤b≤80)∴b=,且 70≤a≤100S=a·b==当 a=95∈[70,100]时,S 取到最大值约为 6017 m2.【点评】 本问题即已知 b=,70≤a≤100,60≤b≤80,求 S=a·b 的最大值,可通过代入消元转化为关于 a 的二次函数问题,在此过程中,特别要注意函数的定义域即变量a 的取值范围.[例 2]已知 f(x)=x2+c,且 f[f(x)]=f(x2+1),(1)设 g(x)=f[f(x)],求 g(x)的解析式;(2)设 φ(x)=g(x)-λf(x),试问是否存在实数 λ,使 φ(x)在(-∞,-1)内是减函数,并在(-1,0)内是增函数.【解】 (1)由 f[f(x)]=f(x2+1)即(x2+c)2+c=(x2+1)2+c整理得(c-1)(2x2+c+1)=0,∴c=1∴g(x)=x4+2x2+2(2)φ(x)=g(x)-λf(x)=(x4+2x2+2)-λ(x2+1)=x4+(2-λ)x2+2-λ设 y=φ(x),x2=t则 y=t2+(2-λ)t+2-λ 在(0,1)上递减,且在(1,+∞)上递增∴-=1,即 λ=4【点评】 本题主要利用了数学中最基本的思想方法:待定系数法和换元法,转化为二次函数的单调性问题.[例 3]已知函数 f(x2-3)=lg,(1)求 f(x)的定义域;(2)求 f(x)的反函数 f-1(x).【解】 (1)设 t=x2-3,则 x2=t+3,且 t>-3 ①f(t)=lg,又>0,∴t<-3 或 t>3 ②因此由①,② 知,f(x)=lg的定义域为(3,+∞)(2)设 y=lgu,u=,x>3则 u>1,∴y=lgu>0由 y=lg得 10y=∴x=f(x)的反函数 f-1(x)= (x>0)【点评】 本题使用换元法求出函数 f(xf(t)的定义域的条件:其一,先由 f(x2-3)=lg有意义得到>0,即 x2>6,再由 t=x2-3>3,即 t>3;其二,换元后 f(t)=lg有意义得到>0,即 t<-3 或 t>3.然后取二者交集得定义域,而求其反函数时,要注明反函数定义域,即要求出原函数值域.[例 4]已知二次函数 f(x)=ax2+bx 满足 f(2)=0 且方程 f(x)=0 有等根.(1)求 f(x)的解析式;(2)问是否存在实数 m,n(m<n),使 f(x)的定义域为[m,n],值域为[2m,2n],如存在,求出 m,n 的值,如不存在,说明理由.【解】 (1)依题意,方程 ax2+(b-1)x=0 有等根∴(b-1)2=0 即 b=1又 f(2)=0,∴4a+2b=0,∴a=-∴f(x)=-x2+x(2) f(x)=- (x-1)2+≤∴2n≤,即 n≤ f(x)=- (x-1)2+的对称轴为 x=1∴当 n...