典例剖析（第二章 函数）

典例剖析（第二章 函数）［例 1］如图 2-30，某房地产开发公司要在荒地 ABCDE 上划分一块长方形地面(不改变方位)建造一幢公寓.问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到 1m2).【解】 设公寓占地矩形的长和宽分别为 a、b,面积为 S (70≤a≤100,60≤b≤80)∴b=,且 70≤a≤100S=a·b==当 a=95∈［70,100］时，S 取到最大值约为 6017 m2.【点评】 本问题即已知 b=,70≤a≤100,60≤b≤80,求 S=a·b 的最大值，可通过代入消元转化为关于 a 的二次函数问题，在此过程中，特别要注意函数的定义域即变量a 的取值范围.［例 2］已知 f(x)=x2+c，且 f［f(x)］=f(x2+1)，(1)设 g(x)=f［f(x)］,求 g(x)的解析式；(2)设 φ(x)=g(x)－λf(x),试问是否存在实数 λ,使 φ(x)在(－∞,－1)内是减函数，并在(－1，0)内是增函数.【解】 (1)由 f［f(x)］=f(x2+1)即(x2+c)2+c=(x2+1)2+c整理得(c－1)(2x2+c+1)=0,∴c=1∴g(x)=x4+2x2+2(2)φ(x)=g(x)－λf(x)=(x4+2x2+2)－λ(x2+1)=x4+(2－λ)x2+2－λ设 y=φ(x),x2＝t则 y=t2+(2－λ)t+2－λ 在(0，1)上递减，且在(1，+∞)上递增∴－=1，即 λ=4【点评】 本题主要利用了数学中最基本的思想方法：待定系数法和换元法，转化为二次函数的单调性问题.［例 3］已知函数 f(x2－3)=lg，(1)求 f(x)的定义域；(2)求 f(x)的反函数 f－1(x).【解】 (1)设 t=x2－3,则 x2=t+3,且 t＞－3 ①f(t)=lg,又>0,∴t<－3 或 t>3 ②因此由①,② 知，f(x)=lg的定义域为(3，+∞)(2)设 y=lgu,u=,x>3则 u>1,∴y=lgu>0由 y=lg得 10y=∴x=f(x)的反函数 f－1(x)= (x>0)【点评】 本题使用换元法求出函数 f(xf(t)的定义域的条件：其一，先由 f(x2－3)=lg有意义得到＞0,即 x2＞6,再由 t=x2－3＞3,即 t＞3；其二，换元后 f(t)=lg有意义得到＞0,即 t＜－3 或 t＞3.然后取二者交集得定义域，而求其反函数时，要注明反函数定义域，即要求出原函数值域.［例 4］已知二次函数 f(x)=ax2+bx 满足 f(2)=0 且方程 f(x)=0 有等根.(1)求 f(x)的解析式；(2)问是否存在实数 m,n(m＜n),使 f(x)的定义域为［m,n］,值域为［2m,2n］,如存在，求出 m,n 的值，如不存在，说明理由.【解】 (1)依题意，方程 ax2+(b－1)x=0 有等根∴(b－1)2=0 即 b=1又 f(2)=0,∴4a+2b=0,∴a=－∴f(x)=－x2+x(2) f(x)=－ (x－1)2+≤∴2n≤,即 n≤ f(x)=－ (x－1)2+的对称轴为 x=1∴当 n...